＃11　同じ数をどんどん出す数

放送で紹介された内容

どんな数も同じ桁数の９で割ると、その数がずっと続く。 １桁の時、5÷9＝0.555... ２桁の時、23÷99＝0.232323... ３桁の時、456÷999＝0.456456... ９と９のゾロ目以外ならどの数でもこうなってしまう。

数学的なバックグラウンド

0.555...
0.232323...
0.456456...
のような循環小数を分数に直したい時は、

1. 循環節（繰り返している部分）を分子とし、
2. 循環節と同じ長さの桁数分だけ９を並べる

とすることによって求めることができます。
例えば、

• 0.555... は循環節が１桁なので、5/9＝0.555...
• 0.2323... は循環節が２桁なので、23/99＝0.2323...
• 0.456456... は循環節が２桁なので、456/999＝152/333＝0.456456...

よって、番組で紹介されたのは、この分数化のプロセスを逆にやっていることになります。

循環小数を分数に直す方法は、こちらでも解説しています。

さて、これを、0.999... に適用したらどうなるか。
これは循環節が１桁なので、9/9 = 1
よって、

0.999... = 1

普段、

1/3 = 0.333...

というような書き方をしますが、これも両辺を３倍すると、

3/3 = 1 = 0.999...

となります。
（なんだか、とんでもないことにぶちあたったような、...）