＃９　４ケタの数が辿り着くところ

放送で紹介された内容

４ケタの数は 6174 に辿り着く。例えば、 8352は、大きい順に並べかえると 8532。小さい順に並べかえて引き算すると、 8532−2358＝6174 6174を同じように計算してみても、 7641−1467＝6174。やっぱり 6174 となる。 3087の場合、 8730−0378＝8352 8532−2358＝6174 やっぱり 6174 になる。

数学的なバックグラウンド

４桁だけでなく、他の桁数でもこのような数があります。

２桁	09 ⇒ 81 ⇒ 63 ⇒ 27 ⇒ 45 ⇒ 09 のように、ループとなる。
３桁	全ての数は 495 に行き着く。
４桁	全ての数は 6174 に行き着く。
５桁	以下の３種類のループのどれかに行き着く。 53955 ⇒ 59994 ⇒ 53955 61974 ⇒ 82962 ⇒ 75933 ⇒ 63954 ⇒ 61974 62964 ⇒ 71973 ⇒ 83952 ⇒ 74943 ⇒ 62964
６桁	631764 または 549945 に行き着くか、ループ 851742 ⇒ 750843 ⇒ 840852 ⇒ 860832 ⇒ 862632 ⇒ 642654 ⇒ 420876 ⇒ 851742 に行き着く。
７桁	ループ 8429652 ⇒ 7619733 ⇒ 8439552 ⇒ 7509843 ⇒ 9529641 ⇒ 8719722 ⇒ 8649432 ⇒ 7519743 ⇒ 8429652 に行き着く。
８桁	63317664 または 97508421 に行き着くか、以下の２種類のループ 86526432 ⇒ 64308654 ⇒ 83208762 ⇒ 86526432 86308632 ⇒ 86326632 ⇒ 64326654 ⇒ 43208766 ⇒ 85317642 ⇒ 75308643 ⇒ 84308652 ⇒ 86308632 のどちらかに行き着く。
９桁	864197532 または 554999445 に行き着くか、ループ 865296432 ⇒ 763197633 ⇒ 844296552 ⇒ 762098733 ⇒ 964395531 ⇒ 863098632 ⇒ 965296431 ⇒ 873197622 ⇒ 865395432 ⇒ 753098643 ⇒ 954197541 ⇒ 883098612 ⇒ 976494321 ⇒ 874197522 に行き着く。
10桁	9753086421 または 6333176664 または 9975084201 に行き着くか、以下の５種類のループのどれかに行き着く。 8655264432 ⇒ 6431088654 ⇒ 8732087622 8653266432 ⇒ 6433086654 ⇒ 8332087662 8765264322 ⇒ 6543086544 ⇒ 8321088762 9775084221 ⇒ 9755084421 ⇒ 9751088421 8633086632 ⇒ 8633266632 ⇒ 6433266654 ⇒ 4332087666 ⇒ 8533176642 ⇒ 7533086643 ⇒ 8433086652

このような数はカプレッカー数（Kaprekar number）と呼ばれており、
インドの数学者 D. R. Kaprekar が 1955年に "An Interesting Property of the Number 6174"
（数字6174の興味深い性質）という論文で発表したのが始まりです。
（従って、TVで紹介された時、バックに映っていたガンジス河は、本当に関係があった）

このような数の求め方は、
単純に考えると、1000から9999までの9000個全部しらみつぶしのように思えますが、
実はもう少し効率化できます。
４桁の数の各桁の数字を大きい順に a, b, c, d とすると、

(大きい順)−(小さい順)
＝ (1000a＋100b＋10c＋d)−(1000d＋100c＋10b＋a)
＝ 1000(a−d)＋100(b−c)−10(b−c)−(a−d)
＝ 999(a−d)＋99(b−c)

ここで、a−d、b−c は０から９までのどれかとなるので、全体では 10×10＝100通り、
ただし、a−d＝b−c＝０の場合を除くと、99通りとなります。
この程度の個数であれば手計算でも検証可能です。

この問題に関しては日本人がものすごい結果を出しており、
平田郁美 氏が、このカプレッカー数を、何と 31桁まで求めています。
論文はこちら。 (共愛学園前橋国際大学論集　第5号　2005年)