6.Bernoulli数、Euler数

tan z の Taylor展開

さて、同じ要領で、ふだんあまりお目にかかることのない、tan z の Taylor展開の係数を求めてみよう。

tan z = t0+t1z1+t2z2/2!+……

とおく。

sin z = z−z3/3!+z5/5!−+……+(−1)nz2n+1/(2n+1)!

cos z = 1−z2/2!+z4/4!−+……+(−1)nz2n/2n!

tnを順に求めていくと、

n=0:0=1・t0 ∴ t0=0

n=1:1=1・t1 ∴ t1=1

n=2:0=1・t2/2!−1/2!・t0 ∴ t2=0
以下、偶数番目は必ず0となる。

……


上の手続きは以下のようなアルゴリズムとなっている。

  1. tnを格納するための配列を用意する。t(1)=1 とする
  2. 2i−1番目まで求められているとき、2i+1番目は、
  3. (-1)i・1/(2i+1)!=t2i+1 −t2i-1/(2i-1)!・1/2!+t2i-3/(2i-3)!・1/4!+−……
    + t2i-(2j-1)/(2i-(2j-1))!・(-1)j/(2j)!
    +−……
    + t1・(-1)i/(2i)!)

    これより、t2i+1を求めることができる。

プログラムは以下のとおり。

10   ' tan z
20   M=10:dim T(2*M+1):T(1)=1
30   for N=1 to M:S=0
40     for I=0 to N-1:A=2*I+1:B=2*(N-I)
50       S=S+(T(A)//!(A))*((-1)^(N-I)//!(B))
60     next I
70     T(2*N+1)=!(2*N+1)*((-1)^N//!(2*N+1)-S)
80     print N,2*N+1,T(2*N+1)
90   next N

足す順序を少し変えて、後ろから足している。
ここでは、M=10として、t21までを求めてみる。
実行結果は以下のとおり。

n2n+1tn
011
132
2516
37272
497936
5113 53792
613223 68256
71519037 57312
81720 98653 42976
9192908 88851 12832
10214 95149 80531 24096


tan z の Taylor展開の係数と、先ほどの Bernoulli数には、以下のような関係がある。

B2n =  (-1)n-12n
----------
22n(22n-1)
T2n-1


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三島 久典