６．Bernoulli数、Euler数

Euler数 En

Euler数 En は以下の式により定義される。

En :	sec z	＝	∞ Σ n=1	En ---- n!	zn

ｐ／ｑ＝ｒの式にあてはめると、

ｐ：1（０次の項のみ）

ｑ：cos z＝１−z²/2!＋z⁴/4!−＋……＋(−１)ⁿz²ⁿ/2n!

ｒ：E₀＋E₁z＋E₂z²/2!＋……＋E_nzⁿ/n!

r_nを順に求めていくと、

ｎ＝０：１＝１・E₀　∴　E₀＝１

ｎ＝１：０＝１・E₁　∴　E₁＝０
（以下、奇数番目は０となる）

ｎ＝２：０＝１・E₂/2!−1/2!・E₀　∴　E₂＝１

……

上の手続きは以下のようなアルゴリズムとなっている。

1. Enを格納するための配列を用意する。E(0)=1 とする
2. 偶数番目のみを求める。2i−２番目まで求められているとき、2i番目は、

E_2i＝−2i!(E₀・(-1)ⁱ/(2i)! ＋E₂・(-1)^i-1/(2i−２)!＋…… ＋E_2j・(-1)^i-j/(2i−2j)!＋…… ＋E_2i-2・(-1)¹/2!

により求めることができる。

プログラムは以下のとおり。

10   ' sec
20   N=20:dim E(N):E(0)=1
30   for I=2 to N step 2:S=0
40     for J=0 to I-2 step 2
50       S=S+E(J)//!(J)//!(I-J)*(-1)^((I-J)\2)
60     next J
70     E(I)=S*(-1)*!(I)
80     print I,E(I)
90   next I

50行目が Bernoulli数の場合よりも、少し複雑になっている。
が、いずれにしても簡単なプログラムとなる。
ここでは、N=20として、E₂₀までを求めてみる。
実行結果は以下のとおり。

n	En
2	1
4	5
6	61
8	1385
10	50521
12	27 02765
14	1993 60981
16	1 93915 12145
18	240 48796 75441
20	37037 11882 37525

Euler数は、必ず整数となる。
かつ１の位に１、５が交互に出現する。