Euler数 En は以下の式により定義される。
En : | sec z | = | ∞ Σ n=1 |
En ---- n! |
zn |
---|
p/q=rの式にあてはめると、
p:1(0次の項のみ)
q:cos z=1−z2/2!+z4/4!−+……+(−1)nz2n/2n!
r:E0+E1z+E2z2/2!+……+Enzn/n!
rnを順に求めていくと、
n=0:1=1・E0 ∴ E0=1
n=1:0=1・E1 ∴ E1=0
(以下、奇数番目は0となる)
n=2:0=1・E2/2!−1/2!・E0 ∴ E2=1
……
上の手続きは以下のようなアルゴリズムとなっている。
E2i=−2i!(E0・(-1)i/(2i)! +E2・(-1)i-1/(2i−2)!+…… +E2j・(-1)i-j/(2i−2j)!+…… +E2i-2・(-1)1/2!
により求めることができる。プログラムは以下のとおり。
10 ' sec 20 N=20:dim E(N):E(0)=1 30 for I=2 to N step 2:S=0 40 for J=0 to I-2 step 2 50 S=S+E(J)//!(J)//!(I-J)*(-1)^((I-J)\2) 60 next J 70 E(I)=S*(-1)*!(I) 80 print I,E(I) 90 next I
50行目が Bernoulli数の場合よりも、少し複雑になっている。
が、いずれにしても簡単なプログラムとなる。
ここでは、N=20として、E20までを求めてみる。
実行結果は以下のとおり。
n | En |
---|---|
2 | 1 |
4 | 5 |
6 | 61 |
8 | 1385 |
10 | 50521 |
12 | 27 02765 |
14 | 1993 60981 |
16 | 1 93915 12145 |
18 | 240 48796 75441 |
20 | 37037 11882 37525 |
Euler数は、必ず整数となる。
かつ1の位に1、5が交互に出現する。
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