４章　ｎ＝x^3＋y^3＋z^3

３．ｎ＝x³＋y³＋2z³ の場合

まず、この場合６の倍数については恒等的な解が存在する。

(x+1)³ + (x-1)³ = 2x³ + 6x

だから

6x = (x+1)³ + (x-1)³ - 2x³

n x y z

6 0 2 -1

12 1 3 -2

18 2 4 -3

24 3 5 -4

30 4 6 -5

... ... ... ...

n	x	y	z
6	0	2	-1
12	1	3	-2
18	2	4	-3
24	3	5	-4
30	4	6	-5
...	...	...	...

一般の場合を考える。0 ≦ |x| ≦ |y| ≦ |z| とする。
係数の２がない場合は、x, y, z の符号の取り得る場合は８通りだった。
この８通りについて、z, y, x の順に係数２を付加すると、調べるべきケースは以下の24通りとなる。

(1) x, y, 2z
(2) -x, y, 2z
(3) x, -y, 2z
(4) -x, -y, 2z
(5) x, y, -2z
(6) -x, y, -2z
(7) x, -y, -2z
(8) -x, -y, -2z
(9) x, 2y, z
(10) -x, 2y, z
(11) x, -2y, z
(12) -x, -2y, z
(13) x, 2y, -z
(14) -x, 2y, -z
(15) x, -2y, -z
(16) -x, -2y, -z
(17) 2x, y, z
(18) -2x, y, z
(19) 2x, -y, z
(20) -2x, -y, z
(21) 2x, y, -z
(22) -2x, y, -z
(23) 2x, -y, -z
(24) -2x, -y, -z

（z, y, x の順の辞書式）。これらについて、

(5) = -(4)
(6) = -(3)
(7) = -(2)
(8) = -(1)
(13) = -(12)
(14) = -(11)
(15) = -(10)
(16) = -(9)
(21) = -(20)
(22) = -(19)
(23) = -(18)
(24) = -(17)

であるから調べるべきケースは、12通り。

(1) (2) (3) (4) (9) (10) (11) (12) (17) (18) (19) (20)

これらのうち、(1) (9) (17) は任意の x, y, z について明らかに正となる。
また (2) (3) (4) (10) (18) (19) についても、任意の x, y, z について常に正となる。

0 ≦ |x| ≦ |y| ≦ |z| ≦ 10 の範囲で、12個の式について、n = x³＋y³＋z³＋t³
（ただし、t = x, y, z）の絶対値が 1000以下になるような x, y, z を求めてみる。プログラムは以下のとおり。

 10   ' cube3.ub
 20   M%=1000 : dim T%(M%) : for I%=1 to M% : T%(I%)=0 : next I%
 30   '
 40   for Z%=0 to 10
 50     for Y%=0 to Z%
 60       for X%=0 to Y%
 70         R%=fnSub(X% , Y% , Z% ,"z") : ' (1)
 80         R%=fnSub(-X% , Y% , Z% ,"z") : ' (2)
 90         R%=fnSub(X% , -Y% , Z% ,"z") : ' (3)
100         R%=fnSub(-X% , -Y% , Z% ,"z") : ' (4)
110         R%=fnSub(X% , Y% , Z% ,"y") : ' (9)
120         R%=fnSub(-X% , Y% , Z% ,"y") : ' (10)
130         R%=fnSub(X% , Y% , Z% ,"z") : ' (17)
140         R%=fnSub(-X% , Y% , Z% ,"z") : ' (18)
150         R%=fnSub(X% , -Y% , Z% ,"z") : ' (19)
160       next X%
170     next Y%
180   next Z%
190   end
200   '
210   fnSub(X% , Y% , Z% , C)
220   local N , S%
230   N=X%^3+Y%^3+Z%^3
240   if C="x" then N=N+X%^3
250   if C="y" then N=N+Y%^3
260   if C="z" then N=N+Z%^3
270   if abs(N)>M% then 300
280   if T%(abs(N))=1 then 300
290   S%=sgn(N) : print S%*N , S%*X% , S%*Y% , S%*Z% , C : T%(S%*N)=1
300   return(0)

(11)(12)(20) について。

(11) x, -2y, z
(12) -x, -2y, z
(20) -2x, -y, z

は正負両方の値を取り得る。
-x³-y³+z³=n の場合と同様に、まず (11) x, -2y, z について
z の値を固定したときの y, x の取り得る値の範囲を求める。

-1000 ≦ x³ - 2y³ + z³ ≦ 1000
z³-1000 ≦ - x³ + 2y³ ≦ z³+1000

y の下限を求める。

-x³ + 2y³ ≦ 2y³

だから、

z³-1000 ≦ 2y³
cbrt((z³-1000)/2) ≦ y

整数化すると、

int(cbrt((z³-1000)/2))+1 ≦ y

上限は、

-x³ + 2y³ ≧ y³

だから、

y³ ≦ z³+1000
y ≦ cbrt(z³+1000)

整数化すると、

y ≦ int(cbrt(z³+1000))

この値は z が十分大きいときはほぼ y に等しくなるので、y の上限値は z-1 としてよい。

（y=z のとき、x³-2y³+z³ = x³-y³
　この値が -1000 ≦ x³-y³ ≦ 1000 となるような x, y の組み合わせは有限個。
　x＞10 のとき |x³ - y³|＞1000 となる。）

次に x の範囲を求める。

-1000 ≦ x³ - 2y³ + z³ ≦ 1000
-z³+2y³-1000 ≦ x³ ≦ -z³+2y³+1000

x の下限は

max{0, int(cbrt(-z³+2y³-1000))+1} ≦ x

x の上限は

x ≦ int(cbrt(-z³+2y³+1000))

(12) -x, -2y, z
(20) -2x, -y, z

の場合についても同様にして y, x の取り得る値の範囲を定めることができる。

10 ≦ |z| ≦ 100000 の範囲で、(11)(12)(20) について n = x³＋y³＋z³＋t³
（ただし、t = x, y, z）の絶対値が 1000以下になるような x, y, z を求めてみる。
(11) の場合のプログラムは以下のとおり。

 10   ' cube4.ub : n = x^3 - 2y^3 + z^3
 20   M%=1000:dim T%(M%):for I%=1 to M%:T%(I%)=0:next I%
 30   '
 40   for Z=10 to 100000:Z3=Z^3
 50     Ys=int(exp(log((Z3-M%)/2)/3))+1
 60     for Y=Ys to Z-1:W=Z3-2*Y^3
 70       Xs=-M%-W:if Xs<=0 then Xs=1 else Xs=int(exp(log(Xs)/3))+1
 80       Xe=M%-W:Xe=int(exp(log(Xe)/3))+1
 90       for X=Xs to Xe:gosub 140:next X
100     next Y
110   next Z
120   end
130   '
140   N=W+X^3:V=abs(N):S=sgn(N):if V>M% then return
150   if T%(V)=1 then return
160   print V;":";X*S;",";-Y*S;",";Z*S;": y":T%(V)=1:return

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三島　久典

３．ｎ＝x3＋y3＋2z3 の場合

３．ｎ＝x³＋y³＋2z³ の場合