導関数　　　　derivative   原関数と導関数

  導関数

関数 ｆ (x) がある区間のすべての点で微分可能なとき、その区間の点 ｘ における微分係数 ｆ’(x) と書けば、

ｆ’(x) はまた ｘ の関数と考えられることができる。この関数を初めの関数 ｙ ＝ ｆ (X) の導関数といい、

・・

などでも表す。

● 関数 ｆ (x) の導関数を求めることを、関数 ｆ (x) を微分するという。

  導関数の計算

関数 ｆ (x) 、ｇ (x) が 微分可能であるとき、導関数について、次の公式が成り立つ。

｛ k ｆ (x) ｝’ ＝ k ｆ’(x)             （ k は定数 ）

�@	｛ k ｆ (x) ｝’ ＝ k ｆ’(x)	（ k は定数 ）
�A	｛ h ｆ (x) ± k g (x)｝’ ＝ h ｆ’ (x) ± k g’ (x)	（ h、k は定数 ）
�B	｛ ｆ (x)  g (x)｝’ ＝ ｆ’ (x)  g (x) ＋  ｆ (x)  g’ (x)	（ 積の導関数 ）
�C	｛ g (x) ／ f (x) ｝’ ＝ ｛ g’ (x)  ｆ (x) −  g (x)  f’ (x) ｝                                 ／   ｛ ｆ (x) ｝ 2	（ 商の導関数 ）
�D	｛ １／ f (x) ｝’ ＝ − f’ (x)  ／  ｛ ｆ (x) ｝ 2

例

	（ 4 ｘ 2 − 3 x ）’	＝  8 x − 3
	｛ （ ｘ 2 − 3 ） （ 4 ｘ ＋ 3 ） ｝’	＝ ２ x （ 4 ｘ ＋ 3 ）＋（ ｘ 2 − 3 ） 4 ＝ 8 ｘ 2 − 6 x ＋ 4 ｘ 2 − 12 ＝ 12 ｘ 2 − 6 x  − 12
	｛ （ 5 x − 2 ）／ ｘ 2 ｝’	｛ 5 ｘ 2 −   （ 5 x − 2 ） （ 2 x ） ｝／  x 4 ＝ ｛ 5 ｘ 2 − （ 10 ｘ 2  − 4 x ） ｝／  x 4 ＝ ｛ − 5 ｘ 2   ＋ 4 x ｝／  x 3

原関数と導関数

関数 ｆ (x) と   ｆ’(x)      table of deri  derivative  

f (x ) ＝∫ ｆ’dx	ｆ’(x )		f (x ) ＝ ∫ ｆ’dx	ｆ’(x )
ｘ	1		sin x  -  x cos x	x  sin x
ｘ n	n ｘ n-1		cos x  +  x sin x	x  cos x
e x	e x		0.5 ( x - 0.5 sin 2x )	sin 2 x
e nx	n e nx		0.5 ( x + 0.5 sin 2x )	cos 2 x
a x  (a>0)	a x  log a		tan x  - x	tan 2 x
log x	ｘ -1		x ( log x - 1 )	log x
log a x    (a：底)	ｘ -1 log a  e		log cos x	- tan x
sin x	cos x		log sin x	cot x
cos x	− sin x		.	.
tan x	1/ cos 2 x		sinh x	cosh x
cot x	- 1/ sin 2 x		cosh x	sinh x
sec x	tan x ･ sec x		tanh x	sech 2 x
cosec x	- cot x  ･ cosec x		coth x.	- cosech 2 x
sin -1 x	1/√( 1 - x 2 )		sinh -1 x	1/√( x 2 + 1 )
cos -1 x	-1/√( 1 - x 2 )		cosh -1 x	1/√( x 2 - 1 )
tan -1 x	1/( 1 + x 2 )		tanh -1 x	1/( 1 - x 2 )
log = 自然対数	.		※ 0.5 = 1/2	.
積分-公式

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