問題４-１-２ 解説
（１） グーテンベルグ-リヒターの式で \(b\) = 1 として， \begin{eqnarray*} \log_{10}n_1 & = & a - M_1, \\ \log_{10}n_2 & = & a - M_2. \end{eqnarray*} これらの式から， \begin{eqnarray*} \log_{10}n_2 - \log_{10}n_1 & = & M_1 - M_2, \\ \log_{10}\frac{n_2}{n_1} & = & M_1 - M_2, \\ \frac{n_2}{n_1} & = & 10^{M_1 - M_2}. \end{eqnarray*}
\(M\) = 8.0 の南海地震については添字１で表わすとして， \[ n_1 = 100/120 = 0.833 \] 即ち， 120 年に１度の南海地震の発生回数は 100 年に 0.833 回ですので，この \(n_1\) を用いて上式から他の地震の \(n_2\) を計算します．
\(M\) = 7.3 の兵庫県南部地震については， \[ n_2 = 0.833\times 10^{8.0-7.3} = 4.175 \] よって， 100/4.175 = 23.95 より兵庫県南部地震の規模の地震は 24 年に１回発生することになります．
\(M\) = 9.0 の東北地方太平洋沖地震では， \[ n_2 = 0.833\times 10^{8.0-9.0} = 0.0833 \] よって， 100/0.0833 = 1200.5 より東北地方太平洋沖地震は千２百年に１回しか発生しない巨大地震であったことになります．
（２） \(\log_{10}n(M) = a - bM\) を指数関数で表わして， \[ n(M) = 10^{a-bM} = e^{(a-bM)\ln 10}. \] この式を \(M\) = \(M\) から \(M\) = \(\infty\) まで積分します． \begin{eqnarray*} N(M) & = & \int_M^\infty n(M)dM, \\ & = & \int_M^\infty e^{(a-bM)\ln 10}dM, \\ & = & \frac{1}{-b\ln 10}\left[e^{(a-bM)\ln 10}\right]_M^\infty, \\ & = & \frac{e^{(a-bM)\ln 10}}{b\ln 10}. \end{eqnarray*} よって， \[ \log_{10}N(M) = (a-bM)\ln 10\log_{10}e - \log_{10}(b\ln 10). \] となりますが， \(\ln 10\log_{10}e=1\) ですので， \[ \log_{10}N(M) = a - \log_{10}(b\ln 10) - bM. \] 最後に， \(A = a - \log_{10}(b\ln 10)\) とおいて，積算発生回数についての次式を得ます． \[ \log_{10}N(M) = A - bM. \]
\(\log_{10}n(M)\) も \(\log_{10}N(M)\) も \(M\) に対して同じ傾き \(b\) となるのは \(n(M)\) が指数分布に従うからです． \(M\) を指数分布に従う確率変数 \(X\) に模して考えると， \(n(M)\) は確率密度関数 \(f(x)\) に， \(N(M)\) は，累積分布関数を \(F(x)\) として， \(1-F(x)\) に相当する量と言えます．