問題７-３-２ 解説
（１） 本文の式 (12) より， \[ \left(\begin{array}{c} _{AF}\omega_{IN}{_x} \\ _{AF}\omega_{IN}{_y} \\ _{AF}\omega_{IN}{_z} \end{array}\right) = 0.39\times\left(\begin{array}{c} \cos25.5\cos26.8 \\ \cos25.5\sin26.8 \\ \sin25.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.3142 \\ 0.1587 \\ 0.1679 \end{array}\right). \]
（２） 成分ごとに加え，大きさも求めると， \[ _{EU}\boldsymbol{\omega}_{IN} = (0.3788, 0.1467, 0.1731), \quad |_{EU}\boldsymbol{\omega}_{IN}| = 0.4416 \] オイラー極の緯度 \(\lambda_E\) と経度 \(\phi_E\) は， \[ \sin\lambda_E = \frac{0.1731}{0.4416} = 0.3920, \quad \tan\phi_E = \frac{0.1467}{0.3788} = 0.3873 \] より \(\lambda_E\) = 23.08°N， \(\phi_E\) = 21.17°E，角速度の大きさは約 0.44 °/Myr となります．
（３） まず，角速度の単位は deg/Myr のままで，地球半径を 1 とすると， \[ _{EU}\boldsymbol{\omega}_{IN} = \left(\begin{array}{c} 0.3788 \\ 0.1467 \\ 0.1731 \end{array}\right), \quad {\bf r} = \left(\begin{array}{c} \cos20\cos80 \\ \cos20\sin80 \\ \sin20 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.1632 \\ 0.9254 \\ 0.3420 \end{array}\right). \] \({\bf v}={_{EU}}\boldsymbol{\omega}_{IN}\times{\bf r}\) を計算すると， \[ \left(\begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.3788 \\ 0.1467 \\ 0.1731 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 0.1632 \\ 0.9254 \\ 0.3420 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.1467\times0.3420 - 0.1731\times0.9254 \\ 0.1731\times0.1632 - 0.3788\times0.3420\\ 0.3788\times0.9254 - 0.1467\times0.1632 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -0.1100 \\ -0.1013 \\ 0.3266 \end{array}\right). \] この結果に角速度を rad/yr に直し，地球半径を cm で表わすためのファクター， \[ (\pi/180)\div 10^6\times 6.4\times 10^8 = 11.1701 \] を掛けて，地点 S でのユーラシアプレートに対するインドプレートの速度ベクトルは次の通りです． \[ \left(\begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1.2287 \\ -1.1315 \\ 3.6482 \end{array}\right)\ \mathrm{cm/yr}. \]
（４） 局地座標での速度ベクトルは問い (3) の結果に変換行列を掛けて計算します． \[ \left(\begin{array}{c} v_n \\ v_e \\ v_d \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -0.0594 & -0.3368 & 0.9397 \\ -0.9848 & 0.1736 & 0 \\ -0.1632 & -0.9254 & -0.3420 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} -1.2287 \\ -1.1315 \\ 3.6482 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3.8823 \\ 1.0136 \\ -0.0001 \end{array}\right)\ \mathrm{cm/yr}. \] 当然ですが \(v_d\) は誤差範囲でゼロとなりました．これより，速度ベクトルの大きさは， \[ v = 4.0124\ \mathrm{cm/yr}, \] で，ベクトルの向きは方位角を \(D\) として次のようになります． \[ D = \tan^{-1}\left(\frac{1.0136}{3.8823}\right) = \tan^{-1}(0.2611) = 14.6323\ \mathrm{deg}. \]
以上より，ユーラシアプレートに対するインドプレートの相対速度ベクトルは，インドの（20°N， 80°E）の地点で北から東へ 15° の方向で大きさは年間 4.0 cm となります．インドプレートは過去百万年程度で見ても北上を続けていることが分かります．また，問い (3) と (4) を通じた計算は球面三角形による方法より大変ですが，角速度ベクトルの和を取るときは直交座標に直す必要もあり，計算機で処理するときはこの方法で行います．
なお， 14 のプレートを含めた高度な解析によるグローバルモデル NUVEL-1A では， \(_{EU}\boldsymbol{\omega}_{IN}\) は， \[ \lambda_E = 24.4\mathrm{°N};, \quad \phi_E = 17.7\mathrm{°E}, \quad \omega = 0.51\ \mathrm{°/Myr}, \] で，オイラー極の位置は演習問題の結果と良く合っていますが，角速度は 15% 大きいようです．また，グローバルモデルによるインドの（20°N, 80°E）の地点での速度ベクトルの方向は，計算結果とほぼ同じ北から東へ 17° で，大きさは 20% 大きい 4.8 cm/yr です．