問題5-3-2 解説
(1) 本文で得た結果より深さ \(z\),時間 \(t\) での温度は, \begin{equation} T(z,t) = T_0e^{-z\sqrt{\omega/2\kappa}}\cos\left(\omega t-z\sqrt{\omega/2\kappa}\right). \label{eq01} \end{equation} これを \(z\) で微分すると, \begin{eqnarray} \frac{dT}{dz} & = & \small{ -T_0\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}e^{-z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}}\cos\left(\omega t - z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}\right) + T_0\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}e^{-z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}}\sin\left(\omega t - z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}\right) }, \nonumber \\ & = & -T_0\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}e^{-z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}}\left[\cos\left(\omega t - z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}\right) - \sin\left(\omega t - z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}\right)\right]. \label{eq02} \end{eqnarray} これを次の公式を用いて変形します. \[ a\cos\theta - b\sin\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta+\alpha), \\ \mathrm{where}, \quad \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. \] 式 (2) では, \(a\) = \(b\) = 1 より \(\alpha\) = π/4 で, \(\sqrt{a^2+b^2}\) = \(\sqrt{2}\) を考慮して熱流は次式となります. \begin{equation} q(z,t) = -k\frac{dT}{dz} = kT_0\sqrt{\frac{\omega}{\kappa}}e^{-z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}}\cos\left(\omega t - z\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}} + \frac{\pi}{4}\right). \label{eq03} \end{equation} この式は地下の熱流も地下温度と同様に深さとともに減少し,同じ周期で変動することを示しますが,変動の位相が 45° 進んでいることが分かります.地表での熱流量 \(q_0\) は \(z\) = 0 とおいて, \begin{equation} q_0 = kT_0\sqrt{\frac{\omega}{\kappa}}\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right). \label{eq04} \end{equation}
(2) 式 (4) で, \(\cos(\omega t + \pi/4)\) がゼロとなる条件は \(n\) を整数として, \[ \omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi, \] より, \begin{equation} \omega t = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n=1,2,3,\cdots \label{eq05} \end{equation}
図は地表温度の変動(点線)に対する地表熱流量の変動(実線)を,両者とも縦軸を1として示します.熱流の変化が温度の変化に先行することは不思議に感じます.しかし,例えば温度の極大が時間遅れで地下に伝わって行く場合を想定すると,温度がゼロになる前に温度勾配が逆転することが考えられます.
なお,地表の温度変化による熱流は地球深部からの恒常的な熱流に比べて圧倒的に大きいです.\(T_0\) = 10 °C, \(k\) = 3 W/m K, \(\kappa\) = 10-6 m2/s として,
- 日変化では, \[ 3\times10\times\sqrt{7.2722\times 10^{-5}\div 10^{-6}} = 255\ \mathrm{W/m^2}. \]
- 年変化では, \[ 3\times10\times\sqrt{1.9924\times 10^{-7}\div 10^{-6}} = 13.4\ \mathrm{W/m^2}. \]
となり,年変化でさえ大陸における平均の地殻熱流量 65 mW/m2 の2百倍の大きさです.