問題３-３-４ 解説
地殻の点線で囲まれた体積が一定の条件から， \[ w_0 h_c = w h_c^\prime. \] これより伸長度 \(\beta = w/w_0\) を用いて， \begin{equation} h_c^\prime = \frac{w_0}{w}h_c = \frac{1}{\beta}h_c. \label{eq01} \end{equation} 高さの明らかな関係を (1) を用いて変形します． \begin{eqnarray} h_c & = & h_s + h_c^\prime + d, \nonumber \\ h_c & = & h_s + \frac{1}{\beta}h_c + d, \nonumber \\ h_s + d & = & h_c\left(1 - \frac{1}{\beta}\right). \label{eq02} \end{eqnarray} 地殻の下面で圧力一定の条件を (1) を用いて変形すると， \begin{eqnarray} \rho_c h_c & = & \rho_s h_s + \rho_c h_c^\prime + \rho_m d, \nonumber \\ \rho_c h_c & = & \rho_s h_s + \rho_c\frac{1}{\beta}h_c + \rho_m d, \nonumber \\ \rho_s h_s + \rho_m d & = & \rho_c h_c\left(1 - \frac{1}{\beta}\right). \label{eq03} \end{eqnarray} (2)\(\times\rho_m-\)(3) より， \begin{eqnarray} (\rho_m - \rho_s)h_s & = & (\rho_m - \rho_c)h_c\left(1 - \frac{1}{\beta}\right), \nonumber \\ h_s & = & h_c\frac{\rho_m - \rho_c}{\rho_m - \rho_s}\left(1 - \frac{1}{\beta}\right). \label{eq04} \end{eqnarray} (4) を (2) へ代入して， \begin{eqnarray} d & = & h_c\left(1 - \frac{1}{\beta}\right) - h_c\frac{\rho_m - \rho_c}{\rho_m - \rho_s}\left(1 - \frac{1}{\beta}\right), \nonumber \\ & = & h_c\left(1 - \frac{\rho_m - \rho_c}{\rho_m - \rho_s}\right)\left(1 - \frac{1}{\beta}\right), \nonumber \\ & = & h_c\frac{\rho_c - \rho_s}{\rho_m - \rho_s}\left(1 - \frac{1}{\beta}\right). \label{eq05} \end{eqnarray}
堆積盆地の厚さ \(h_s\) は， \(\beta\) = 2， \(h_c\) = 35 km， \(\rho_s\) = 2500 kg/m3， \(\rho_c\) = 2800 kg/m3， \(\rho_m\) = 3300 kg/m3 を (4) へ代入して， \[ h_s = 35\times\frac{3300-2800}{3300-2500}\times\left(1-\frac{1}{2}\right) = 10.9\ \mathrm{km}, \] となります．マントル流入部の厚さ \(d\) は (5) から得られますが，(2) を用いると簡単です． \[ d = 35\times\left(1 - \frac{1}{2}\right) - 10.9 = 6.6\ \mathrm{km}. \]