問題３-３-３ 解説
点線で囲まれた領域の体積が一定の条件を \(\alpha = w_0/w\) を用いて変形します． \begin{eqnarray} w_0 h_c & = & w(h + h_c + d), \nonumber \\ \alpha h_c & = & h + h_c + d, \label{eq01} \\ h & = & (\alpha -1)h_c -d . \label{eq02} \end{eqnarray} 補償面 AB で圧力一定の条件を (1) を用いて変形すると， \begin{eqnarray} \rho_c h_c + \rho_m d & = & \rho_c(h + h_c + d), \nonumber \\ \rho_c h_c + \rho_m d & = & \rho_c\alpha h_c, \nonumber \\ \rho_m d & = & \rho_c(\alpha - 1)h_c, \nonumber \\ d & = & h_c\frac{\rho_c}{\rho_m}(\alpha -1). \label{eq03} \end{eqnarray} (3) を (2) に代入して， \begin{eqnarray} h & = & h_c(\alpha - 1) - h_c\frac{\rho_c}{\rho_m}(\alpha -1), \nonumber \\ & = & h_c\left(1 - \frac{\rho_c}{\rho_m}\right)(\alpha -1), \nonumber \\ & = & h_c\frac{\rho_m - \rho_c}{\rho_m}(\alpha - 1). \label{eq04} \end{eqnarray}
山脈の高さ \(h\) は， \(\alpha\) = 2， \(h_c\) = 35 km， \(\rho_c\) = 2800 kg/m3， \(\rho_m\) = 3300 kg/m3 を (4) へ代入して， \[ h = 35\times\frac{3300-2800}{3300}\times(2-1) = 5.3\ \mathrm{km}, \] となります．山脈の根の深さ \(d\) は (3) から求めますが，次のように (2) を用いても良いです． \[ d = (2 - 1)\times 35 - 5.3 = 29.7\ \mathrm{km}. \] アイソスタシーが成り立つとすれば，山脈の高さに比べて根の深さがずっと大きいことが分かります．