問題６-２-１ 解説
\(x \ll 1\) の場合の近似は，基本的にはテイラー・マクローリン展開は， \[ f(x) \approx f(0) + f^\prime(0)x, \] のように１次の項まで取るだけで構いません．しかし， \(\cos x\) については１次の項がゼロになりますので， \[ f(x) \approx f(0) + f^\prime(0)x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^2, \] として２次の項まで展開します．
- \((\cos x)^\prime|_{x=0}=(-\sin x)|_{x=0}=0,\ (\cos x)^{\prime\prime}|_{x=0}=(-\cos x)|_{x=0}=-1\) より， \[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}. \]
- \((\sin x)^\prime|_{x=0}=\cos x|_{x=0}=1\) より， \[ \sin x \approx x. \]
- \(((1 + x)^{1/2})^\prime|_{x=0}=\frac{1}{2}(1 + x)^{-1/2}|_{x=0}=\frac{1}{2}\) より， \[ \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}. \]
- \(((1 + x)^{-1/2})^\prime|_{x=0}=-\frac{1}{2}(1 + x)^{-3/2}|_{x=0}=-\frac{1}{2}\) より， \[ \frac{1}{\sqrt{1 + x}} \approx 1 - \frac{x}{2}. \]
なお，三角関数の \(x\) はラジアンで表わします．