問題２-２ 解説
問題の３つの式を書き直すと， \begin{eqnarray} -\frac{d(^{40}\mathsf{K})}{dt} & = & \frac{d(^{40}\mathsf{Ca})}{dt} + \frac{d(^{40}\mathsf{Ar})}{dt}, \\ \frac{d(^{40}\mathsf{Ca})}{dt} & = & \lambda_\beta(^{40}\mathsf{K}), \\ \frac{d(^{40}\mathsf{Ar})}{dt} & = & \lambda_\mathsf{e}(^{40}\mathsf{K}). \end{eqnarray} 式 (2) と (3) の和を取ります． \[ \frac{d(^{40}\mathsf{Ca})}{dt} + \frac{d(^{40}\mathsf{Ar})}{dt} = (\lambda_\beta + \lambda_\mathsf{e})(^{40}\mathsf{K}). \] 式 (1) を代入すると， \[ \frac{d(^{40}\mathsf{K})}{dt} = -(\lambda_\beta + \lambda_\mathsf{e})(^{40}\mathsf{K}). \] よって， \(\lambda_\beta + \lambda_\mathsf{e}\) を \(\lambda\) とおくと， \((^{40}\mathsf{K})\) の減少は \((^{40}\mathsf{K})_0\) を初期値として次式で表されます． \begin{equation} (^{40}\mathsf{K}) = (^{40}\mathsf{K})_0 e^{-\lambda t}. \end{equation} 式 (4) を式 (3) に代入すると， \[ \frac{d(^{40}\mathsf{Ar})}{dt} = \lambda_\mathsf{e} (^{40}\mathsf{K})_0 e^{-\lambda t}. \] これを積分すると， \(C\) を積分定数として次式となります． \[ (^{40}\mathsf{Ar}) = -\frac{\lambda_\mathsf{e}}{\lambda}(^{40}\mathsf{K})_0 e^{-\lambda t} + C. \] \(t=0\) で \((^{40}\mathsf{Ar})=0\) ですので， \[ C = \frac{\lambda_\mathsf{e}}{\lambda}(^{40}\mathsf{K})_0. \] これを代入して， \[ (^{40}\mathsf{Ar}) = \frac{\lambda_\mathsf{e}}{\lambda}(^{40}\mathsf{K})_0(1-e^{-\lambda t}), \] ここで，式 (4) より \((^{40}\mathsf{K})_0 = (^{40}\mathsf{K}) e^{\lambda t}\) を代入してまとめると， \begin{eqnarray*} (^{40}\mathsf{Ar}) & = & \frac{\lambda_\mathsf{e}}{\lambda}(^{40}\mathsf{K})(e^{\lambda t}-1), \\ \frac{(^{40}\mathsf{Ar})}{(^{40}\mathsf{K})} & = & \frac{\lambda_\mathsf{e}}{\lambda}(e^{\lambda t}-1). \end{eqnarray*} 最後に， \(t=T\) とおいて \(T\) について解くことで K-Ar 法による年代を与える式を得ます． \[ T = \frac{1}{\lambda}\log_e\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_\mathsf{e}}\frac{(^{40}\mathsf{Ar})}{(^{40}\mathsf{K})}\right). \]