問題２-１ 解説
（１） 式 \(P=P_0 e^{-\lambda t}\) において \(t=T_{1/2}\)， \(P=P_0/2\) とおき， \begin{eqnarray*} 1/2 & = & e^{-\lambda T_{1/2}}, \\ e^{\lambda T_{1/2}} & = & 2, \\ T_{1/2} & = & \frac{\log_e 2}{\lambda}. \end{eqnarray*}
（２） 式 \(P=P_0 e^{-\lambda t}\) において \(t=T\) とおき， \(T\) について解くと， \[ T = \frac{1}{\lambda}\log_e\frac{P_0}{P}. \]
（３） 時刻 \(t\) における子元素の数 \(D\) は，親元素が減った数だけ初期値より増えているので， \[ D = D_0 + P_0 - P. \] が成り立ちます．ここで，式 \(P=P_0 e^{-\lambda t}\) を \(P_0=P e^{\lambda t}\) と表わして代入すると次式となります． \[ D = D_0 + P(e^{\lambda t}-1). \] \(t=T\) とおき， \(T\) について解くと， \[ T = \frac{1}{\lambda}\log_e\left(\frac{D-D_0}{P}+1\right). \]
（４） \(\lambda\) は問（１）の式から， \[ \lambda = (\log_e 2)/T_{1/2} = 0.69315\div 5730 = 1.2097\times 10^{-4}\ \mathrm{yr^{-1}}. \] これを問（２）の式に代入して， \[ T = \log_e\left(\frac{1}{0.125}\right)\div 1.2097\times 10^{-4} = 17190\ \mathrm{yr}. \]
別解： 放射性崩壊は半減期 \(T_{1/2}\) を使用して次の式で表すこともできます． \[ \frac{P}{P_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{{\large \frac{t}{T_{1/2}}}}. \] 親元素の 14C の量 12.5% は初期値 \(P_0\) の８分の１，即ち (1/2)3 に減っているということですので， \[ T = 5730\times 3 = 17190\ \mathrm{yr}. \]