四角系： 90度： tan(π/2) =∞
π/2 = arctan(∞)
三角系： 60度： tan(π/3) =√3
π/3 = arctan(√3)
五角系： 36度： tan(π/5) =√(5-2√5) π/5 = arctan(√(5-2√5))
これらを二分する事を考えよう。
tanの加法定理より、任意角とその二分角との関係は、次式のようになる。
tan θ' = ±√(tan＾2(θ)+1) -1 / tan(θ)
同式を適用することで、(2＾n)分角が機械的に求まる。
π/2 → π/4 → π/8 → π/16 → π/32 → ・・・
π/3 → π/6 → π/12 → π/24 → π/48 → ・・・
π/5 → π/10 → π/20 → π/40 → ・・・
また、任意角同士の差分も、tanの加法定理で容易に導ける 。
tan (α-β) = (tan(α)-tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))
ここで、30度-18度、すなわち π/6-π/10 = π/15 を求めると、
三角･五角複合系： 12度： tan(π/15) = (3√3-√15-√(50-22√5)) / 2
π/15 = arctan( (3√3-√15-√(50-22√5)) / 2 )
これも二分が可能である。
π/15 → π/30 → π/60 → ・・・
一般に、円周の分割を論じる問題を「円分問題」と称す。
すでに述べたように、π/n の n が素数で表せるものは、2/3/5 であった。
これは、2=(2＾0+1)、3=(2＾1+1)、5=(2＾2+1) とも表される。
同様に、17=(2＾4+1)、257=(2＾8+1)、65537=(2＾16+1)、 すなわち、円の17等分、257等分、65537等分、も可能な事が
Gauss によって証明されている。
π/2 = arctan( ∞ )
π/3 = arctan( √3 )
π/4 = arctan( 1 )
π/5 = arctan( √(5-2√5) )
√3
π/6 = arctan( ----- )
3
π/8 = arctan( √2-1 )
√(25-10√5)
π/10 = arctan( ------------- )
5
π/12 = arctan( 2-√3 )
3√3-√15-√(50-22√5)
π/15 = arctan( ----------------------- )
2
π/16 = arctan( √(4+2√2) -√2 -1 )
1-φ
π/17 = arctan( √( ----- ) )
1+φ
π/20 = arctan( -√(5+2√5) +√5 +1 )
π/24 = arctan( 2√(2+√3) -√3 -2 )
√(10-2√5) +√3 -√15
π/30 = arctan( --------------------- )
2
π/32 = arctan( √(8+4√2+4√(20+14√2)) -√(4+2√2) -√2-1 )
√2√(1-φ) -√(1-φ＾2)
π/34 = arctan( --------------------- )
1-φ
π/40 = arctan( √(12+4√5+2√(50+22√5)) -√(5+2√5) -√5-1 )
π/48 = arctan( √(16+8√3+4√(26+15√3)) -2√(2+√3) -√3-2 )
√(110-60√3+46√5-28√15) -3√3 +2√5 -√15+4
π/60 = arctan( -------------------------------------------- )
2