【極限式】のコラムで論じたように、２次の極限式は次式で表現できる。

π/2 = arctan(1/x)+arctan(x)
 
これより次式を得る。

nπ/2 = (arctan(1/x1)+arctan(x1))+...+(arctan(1/xn)+arctan(xn))
 

２次循環極限式

π = arctan(1/x1)+arctan(1/x2)
 

x1=a/b
x2=b/a   (=1/x1)

４次循環極限式

π = arctan(1/x1)+arctan(1/x2)+arctan(1/x3)+arctan(1/x4)
 

x1=ab/cd
x2=bc/da
x3=cd/ab  (=1/x1)
x4=da/bc  (=1/x2)

６次循環極限式

3π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)
 

x1=abc/def
x2=bcd/efa
x3=cde/fab
x4=def/abc  (=1/x1)
x5=efa/bcd  (=1/x2)
x6=fab/cde  (=1/x3)
 

８次循環極限式

2π = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)+arctan(1/g)+arctan(1/h)
 

x1=abcd/efgh
x2=bcde/fgha
x3=cdef/ghab
x4=defg/habc
x5=efgh/abcd  (=1/x1)
x6=fgha/bcde  (=1/x2)
x7=ghab/cdef  (=1/x3)
x8=habc/defg  (=1/x4)
 

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