２次媒介変数式
tan( arctan(1/a) + arctan(1/b) ) = (a+b) / (ab-1)
左辺 =∞ と (ab-1) = 0 とは同義
π/2 = arctan(1/a) + arctan(1/b)
a/b を x/y の関数で記述し、上式が成立するための条件を r でまとめるて、次式を得る。
同式は任意の x/y 値で成立する。
３次媒介変数式
tan( arctan(1/a) + arctan(1/b) + arctan(1/c) ) = ((ab+ac+bc)-1) / ((abc)-(a+b+c))
左辺 =∞ と ((abc)-(a+b+c)) = 0 とは同義
π/2 = arctan(1/a) + arctan(1/b) + arctan(1/c)
a/b/c を x/y/z の関数で記述し、上式が成立するための条件を r でまとめて、次式を得る。
同式は任意の x/y/z 値で成立する。
a2=rx/y
b2=ry/z
c2=rz/x
r2=√( x/y + y/z + z/x )
a3=rx/yz
b3=ry/zx
c3=rz/xy
r3=√( x^2 + y^2 + z^2 )
さて、ここで発散条件だけでなく、分子=0 の場合も考察してみよう。
左辺=0 と ((ab+ac+bc)-1)=0 とは同義である、すなわち
π = arctan(1/a) + arctan(1/b) + arctan(1/c)
a/b/c を x/y/z の関数で記述し、上式が成立するための条件を r でまとめて、次式を得る。
同式は任意の x/y/z 値で成立する。
a2=rx/y
b2=ry/z
c2=rz/x
r2=1/√( x/z + y/x + z/y )
a3=rx/yz
b3=ry/zx
c3=rz/xy
r3=1/√( 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 )