【多重展開】のコラムで求めた  1 = ΣS/ΣS'  の諸公式において、分母が0になる場合を考える。
左辺が ∞ となる事から、同条件は π/2 = Σarctan(1/n)  を論じるのと同義である。
 

１次式

tan(π/2) = ∞

π/2 = arctan(1/0)

２次式

tan( arctan(1/a) + arctan(1/b) ) = (a+b) / (ab-1)

左辺 =∞ と (ab-1) = 0 とは同義である、よって

π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)

上式が成立するための a/b の条件は次の通り
 

b = 1/a

３次式

tan( arctan(1/a) + arctan(1/b) + arctan(1/c) ) = ((ab+ac+bc)-1) / ((abc)-(a+b+c))

左辺 =∞ と ((abc)-(a+b+c)) = 0 とは同義である、よって

π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)

上式が成立するための a/b/c の条件は次の通り
 

c = R1/(R2-1)

R2 = ab
R1 = a+b

４次式

同様に、

π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)

上式が成立するための a/b/c/d の条件は次の通り
 

d  = (R2-1)/(R3-R1)

R3 = abc
R2 = ab+ac+bc
R1 = a+b+c

５次式

同様に、

π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)

上式が成立するための a/b/c/d /e の条件は次の通り
 

e = (R3-R1)/(R4-R2+1)

R4 = abcd
R3 = abc+abd+acd+bcd
R2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd

６次式

同様に、

π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)

上式が成立するための a/b/c/d /e/f の条件は次の通り
 

f = (R4-R2+1)/(R5-R3+R1)

R5 = abcde
R4 = abcd+abce+abde+acde+bcde
R3 = abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde
R2 = ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de
R1 = a+b+c+d+e

７次式

同様に、

π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)+arctan(1/g)
 
上式が成立するための a/b/c/d /e/f/g の条件は次の通り
 

g = (R5-R3+R1)/(R6-R4+R2-1)

R6 = abcdef
R5 = abcde+abcdf+abcef+abdef+acdef+bcdef
R4 = abcd+abce+abcf+abde+abdf+abef+acde+acdf+acef+adef+bcde+bcdf+bcef+bdef+cdef
R3 = abc+abd+abe+abf+acd+ace+acf+ade+adf+aef+bcd+bce+bcf+bde+bdf+bef+cde+cdf+cef+def
R2 = ab+ac+ad+ae+af+bc+bd+be+bf+cd+ce+cf+de+df+ef
R1 = a+b+c+d+e+f
 

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