【 多重展開 】
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    π/4 = Σarctan(1/xn)  の両辺に tan を施すと、左辺 =1、右辺は加法定理で求まる。

    これを方程式にまとめると、以下のようになる。
     

    ２次展開

    π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)

    上式が成立するための a/b の条件は次の通り

    1 = S1/(S2-1)   →   S2-S1-1 = 0

       
    S2=ab
    S1=a+b

    ３次展開

    π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)

    上式が成立するための a/b/c の条件は次の通り

    1 = (S2-1)/(S3-S1)   →   S3-S2-S1+1 = 0

    S3=abc
    S2=ab+ac+bc
    S1=a+b+c

    ４次展開

    π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)

    上式が成立するための a/b/c/d の条件は次の通り

    1 = (S3-S1)/(S4-S2+1)   →   S4-S3-S2+S1+1 = 0

    S4=abcd
    S3=abc+abd+acd+bcd
    S2=ab+ac+ad+bc+bd+cd
    S1=a+b+c+d

    ５次展開

    π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)

    上式が成立するための a/b/c/d/e の条件は次の通り

    1 = (S4-S2+1)/(S5-S3+S1)   →   S5-S4-S3+S2+S1-1 = 0

    S5=abcde
    S4=abcd+abce+abde+acde+bcde
    S3=abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde
    S2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de
    S1=a+b+c+d+e

    ６次展開

    π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)

    上式が成立するための a/b/c/d/e/f の条件は次の通り

    1 = (S5-S3+S1)/(S6-S4+S2-1)   →   S6-S5-S4+S3+S2-S1-1 = 0

    S6=abcdef
    S5=abcde+abcdf+abcef+abdef+acdef+bcdef
    S4=abcd+abce+abcf+abde+abdf+abef+acde+acdf+acef+adef+bcde+bcdf+bcef+bdef+cdef
    S3=abc+abd+abe+abf+acd+ace+acf+ade+adf+aef+bcd+bce+bcf+bde+bdf+bef+cde+cdf+cef+def
    S2=ab+ac+ad+ae+af+bc+bd+be+bf+cd+ce+cf+de+df+ef
    S1=a+b+c+d+e+f

    ７次展開

    π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)+arctan(1/g)

    上式が成立するための a/b/c/d/e/f/g の条件は次の通り

    1 = (S6-S4+S2-1)/(S7-S5+S3-S1)   →   S7-S6-S5+S4+S3-S2-S1+1 = 0

    S7=abcdefg
    S6=abcdef+abcdeg+abcdfg+abcefg+abdefg+acdefg+bcdefg
    S5=abcde+abcdf+abcdg+abcef+abceg+abcfg+abdef+abdeg+abdfg+abefg+acdef+acdeg+acdfg+acefg
        +adefg+bcdef+bcdeg+bcdfg+bcefg+bdefg+cdefg
    S4=abcd+abce+abcf+abcg+abde+abdf+abdg+abef+abeg+abfg+acde+acdf+acdg+acef+aceg+acfg+adef
        +adeg+adfg+aefg+bcde+bcdf+bcdg+bcef+bceg+bcfg+bdef+bdeg+bdfg+befg+cdef+cdeg+cdfg+cefg
        +defg
    S3=abc+abd+abe+abf+abg+acd+ace+acf+acg+ade+adf+adg+aef+aeg+afg+bcd+bce+bcf+bcg+bde+bdf
        +bdg+bef+beg+bfg+cde+cdf+cdg+cef+ceg+cfg+def+deg+dfg+efg
    S2=ab+ac+ad+ae+af+ag+bc+bd+be+bf+bg+cd+ce+cf+cg+de+df+dg+ef+eg+fg
    S1=a+b+c+d+e+f+g


     

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