π/4 = Σarctan(1/xn) の両辺に tan を施すと、左辺
=1、右辺は加法定理で求まる。
これを方程式にまとめると、以下のようになる。
2次展開
π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)
上式が成立するための a/b の条件は次の通り
1 = S1/(S2-1) → S2-S1-1 = 0
3次展開
π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)
上式が成立するための a/b/c の条件は次の通り
1 = (S2-1)/(S3-S1) → S3-S2-S1+1 = 0
S3=abc
S2=ab+ac+bc
S1=a+b+c
4次展開
π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)
上式が成立するための a/b/c/d の条件は次の通り
1 = (S3-S1)/(S4-S2+1) → S4-S3-S2+S1+1 = 0
S4=abcd
S3=abc+abd+acd+bcd
S2=ab+ac+ad+bc+bd+cd
S1=a+b+c+d
5次展開
π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)
上式が成立するための a/b/c/d/e の条件は次の通り
1 = (S4-S2+1)/(S5-S3+S1) → S5-S4-S3+S2+S1-1 = 0
S5=abcde
S4=abcd+abce+abde+acde+bcde
S3=abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde
S2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de
S1=a+b+c+d+e
6次展開
π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)
上式が成立するための a/b/c/d/e/f の条件は次の通り
1 = (S5-S3+S1)/(S6-S4+S2-1) → S6-S5-S4+S3+S2-S1-1 = 0
S6=abcdef
S5=abcde+abcdf+abcef+abdef+acdef+bcdef
S4=abcd+abce+abcf+abde+abdf+abef+acde+acdf+acef+adef+bcde+bcdf+bcef+bdef+cdef
S3=abc+abd+abe+abf+acd+ace+acf+ade+adf+aef+bcd+bce+bcf+bde+bdf+bef+cde+cdf+cef+def
S2=ab+ac+ad+ae+af+bc+bd+be+bf+cd+ce+cf+de+df+ef
S1=a+b+c+d+e+f
7次展開
π/4 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)+arctan(1/g)
上式が成立するための a/b/c/d/e/f/g の条件は次の通り
1 = (S6-S4+S2-1)/(S7-S5+S3-S1) → S7-S6-S5+S4+S3-S2-S1+1 = 0
S7=abcdefg
S6=abcdef+abcdeg+abcdfg+abcefg+abdefg+acdefg+bcdefg
S5=abcde+abcdf+abcdg+abcef+abceg+abcfg+abdef+abdeg+abdfg+abefg+acdef+acdeg+acdfg+acefg
+adefg+bcdef+bcdeg+bcdfg+bcefg+bdefg+cdefg
S4=abcd+abce+abcf+abcg+abde+abdf+abdg+abef+abeg+abfg+acde+acdf+acdg+acef+aceg+acfg+adef
+adeg+adfg+aefg+bcde+bcdf+bcdg+bcef+bceg+bcfg+bdef+bdeg+bdfg+befg+cdef+cdeg+cdfg+cefg
+defg
S3=abc+abd+abe+abf+abg+acd+ace+acf+acg+ade+adf+adg+aef+aeg+afg+bcd+bce+bcf+bcg+bde+bdf
+bdg+bef+beg+bfg+cde+cdf+cdg+cef+ceg+cfg+def+deg+dfg+efg
S2=ab+ac+ad+ae+af+ag+bc+bd+be+bf+bg+cd+ce+cf+cg+de+df+dg+ef+eg+fg
S1=a+b+c+d+e+f+g