＃１　変数を覗いてみよう　３

＃１　変数を覗いてみよう (3)(９８年１１月７日初版)
1.3 ２進数

 ０から２０までの整数を２進数で表示するプログラムを示します。関数 
dec2bin() は受け取った整数値のビットパターンを画面に出力します。 
この関数 dec2bin() がなにを行っているかは後で明らかになります。
// dec2bin.cpp 
// 整数のビットパターンを表示 

#include <iostream.h> 
#include <iomanip.h> 

//１０進数を２進数に変換してプリントする 
void dec2bin(int dec) 
{ 
    int size = sizeof(int)*8; 
    for(int i= size -1; i >= 0; i--){ 
        if( (dec >> i) & 1 ) 
             cout << '1'; 
        else 
            cout << '0'; 
        if( i % 8 == 0 ) cout << " "; 
    } 
    cout << endl; 
} 

int main() 
{ 
    int dec = 0; 
    while(dec <= 20){ // ０から２０まで 
       cout << setw(3) << dec << "： ";                  
       dec2bin(dec); 
       dec++; 
    } 
    return 0; 
}
　　　　　　　　　 ソースファイル（ dec2bin.cpp）

[実行結果]
  0： 00000000 00000000 00000000 00000000    
  1： 00000000 00000000 00000000 00000001    
  2： 00000000 00000000 00000000 00000010    
  3： 00000000 00000000 00000000 00000011    
  4： 00000000 00000000 00000000 00000100    
  5： 00000000 00000000 00000000 00000101    
  6： 00000000 00000000 00000000 00000110    
  7： 00000000 00000000 00000000 00000111    
  8： 00000000 00000000 00000000 00001000    
  9： 00000000 00000000 00000000 00001001    
 10： 00000000 00000000 00000000 00001010    
 11： 00000000 00000000 00000000 00001011    
 12： 00000000 00000000 00000000 00001100    
 13： 00000000 00000000 00000000 00001101    
 14： 00000000 00000000 00000000 00001110    
 15： 00000000 00000000 00000000 00001111    
 16： 00000000 00000000 00000000 00010000    
 17： 00000000 00000000 00000000 00010001    
 18： 00000000 00000000 00000000 00010010    
 19： 00000000 00000000 00000000 00010011    
 20： 00000000 00000000 00000000 00010100
　結果をみやすくするために、１バイトごとに空白を入れて表示してい 
ます。int型は４バイトすなわち３２個のビットの並びになっていて、 
０～２０まで２進数で表示されていることをよく確かめてください。 

　次に、小数の場合を考えてみましょう。たとえば、１０進数で0.1を２進数 
で表すと、 

0.1の２進数表現 = 0.0001100110011............. 

という具合に、循環小数となります。無限に続きます。ところがコンピュー 
タはこのような数を有限ケタの数として扱いますから、数値0.1を正確に表す 
ことができません。浮動小数点数を使用した計算の回数が多くなると丸め誤 
差（round-off error 四捨五入による誤差）が大きくなります。 

 
[演習問題１．３] 0.1の２進数表現を筆算で求めなさい。 回答 

　具体的にみてみましょう。0.1を1000回加えてみます。
// lst01_03.cpp 
// 計算誤差 
// 0.1 + 0.1 + 0.1 + ..... 

#include <iostream.h> 

int main() 
{ 
    float sum = 0.0; 

    cout << "0.1 を1000 回加えます\n"; 

    for(int i = 0; i < 1000; i++) // 合計は100にならない

        sum += 0.1; 

    cout << "合計： " << sum << endl; 

    return 0; 
}
[実行結果]　 ソースファイル


0.1 を1000 回加えます                  
合計： 99.999                          


　同じような足し算の繰り返しでも、２の倍数や２で割り切れるような数なら 
誤差が生じないのではないでしょうか。例えば、0.1ではなく1/16 = 2^-4と 
して、1000ではなく1024 = 2^10 としてみましょう。 

// lst01_04.cpp 
// 計算誤差 
// 1/16 + 1/16 + 1/16 + ..... 

#include <iostream.h> 

int main() 
{ 
    float sum = 0.0; 

    cout << "1/16 を1024 回加えます\n"; // 2^(-4) * 2^(10) = 2^6 = 64 

    for(int i = 0; i < 1024; i++) // 合計は64 
        sum += 1.0 / 16.0; 

    cout << "合計： " << sum << endl; 

    return 0;
}
ソースファイル


この場合、結果は６４となります。このようなやり方は計算誤差をできるだけ小さく 
するために、使われます。例えば定積分の計算のようにある区間を分割して和を求め 
るときに、分割の数を２の倍数に選ぶといった方法をとります。
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