#12 分身を見破る数

(2006/9/13)

放送で紹介された内容

  • 3桁の数を二度並べた数を、1001で割ると、元の3桁の数に戻る
  • 123123を1001で割ると、123123÷1001=123
    756756を1001で割ると、756756÷1001=756
    元の3桁の数が出てくる

数学的なバックグラウンド

「3桁の数を二度並べる」=「1001を掛ける」
なので(筆算でやると明らか)、これはぜんぜんひねりが無さ過ぎです。

よく本等で紹介されているのは、1001 = 7×11×13 を利用して、

  1. 任意の3桁の数を選ぶ
  2. 7を掛ける
  3. その結果に11を掛ける
  4. その結果に13を掛ける
  5. 答は、元の3桁の数が2つ並んだ

または、

  1. 任意の3桁の数を選ぶ
  2. その数を2回並べて、6桁の数にする
  3. 7で割る。割り切れた
  4. その答を11で割る。割り切れた
  5. その答を13で割る。割り切れた。しかも、元の3桁の数に戻った

のようにすると、不思議感があったのですが。


1桁の数を2つ並べる: aa = a × 11
2桁の数を2つ並べる: abab = ab × 101
3桁の数を2つ並べる: abcabc = abc × 1001
4桁の数を2つ並べる: abcdabcd = abcd × 10001
5桁の数を2つ並べる: abcdeabcde = abcde × 100001
......
1桁の数を3つ並べる: aaa = a × 111
2桁の数を3つ並べる: ababab = ab × 10101
3桁の数を3つ並べる: abcabcabc = abc × 1001001
4桁の数を3つ並べる: abcdabcdabcd = abcd × 100010001
5桁の数を3つ並べる: abcdeabcdeabcde = abcde × 10000100001
......
1桁の数を4つ並べる: aaaa = a × 1111
2桁の数を4つ並べる: abababab = ab × 1010101
3桁の数を4つ並べる: abcabcabcabc = abc × 1001001001
4桁の数を4つ並べる: abcdabcdabcdabcd = abcd × 1000100010001
5桁の数を4つ並べる: abcdeabcdeabcdeabcde = abcde × 1000010000100001
......

なので、結局、

100...100...1 という数がどのように素因数分解されるか

ということに帰着します。
小さい桁数について、結果を列挙すると、

2桁2個 : 101 = 101 (素数)
3桁2個 : 1001 = 7 * 11 * 13
4桁2個 : 10001 = 73 * 137
5桁2個 : 100001 = 11 * 9091
6桁2個 : 1000001 = 101 * 9901
7桁2個 : 10000001 = 11 * 909091
8桁2個 : 100000001 =  17 * 5882353
9桁2個 : 1000000001 = 17 * 11 * 13 * 19 * 52579
10桁2個 : 1000000001 =  101 * 3541 * 27961
2桁3個 : 10101 = 3 * 7 * 13 * 37
3桁3個 : 1001001 = 3 * 333667
4桁3個 : 100010001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901
5桁3個 : 10000100001 = 3 * 31 * 37 * 2906161
6桁3個 : 1000001000001 = 3 * 19 * 52579 * 333667
7桁3個 : 100000010000001 = 3 * 37 * 43 * 1933 * 10838689
8桁3個 : 10000000100000001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901 * 99990001
9桁3個 : 1000000001000000001 = 3 * 757 * 440334654777631
10桁3個 : 100000000010000000001 = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 * 211 * 241 * 2161 * 2906161
2桁4個 : 1010101 = 73 * 101 * 137
3桁4個 : 1001001001 = 7 * 11 * 13 * 101 * 9901
4桁4個 : 1000100010001 = 17 * 73 * 137 * 5882353
5桁4個 : 1000010000100001 = 11 * 101 * 3541 * 9091 * 27961
6桁4個 : 1000001000001000001 = 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001
7桁4個 : 1000000100000010000001 = 11 * 29 * 101 * 281 * 909091 * 121499449
8桁4個 : 1000000010000000100000001 = 17 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353
9桁4個 : 1000000001000000001000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 101 * 9901 * 52579 * 999999000001
10桁4個 : 1000000000100000000010000000001 = 73 * 101 * 137 * 3541 * 27961 * 1676321 * 5964848081
2桁2個 : 101 = 101 (素数)
2桁3個 : 10101 = 3 * 7 * 13 * 37
2桁4個 : 1010101 = 73 * 101 * 137
2桁5個 : 101010101 = 41 * 271 * 9091
2桁6個 : 10101010101 = 3 * 7 * 13 * 37 * 101 * 9901
2桁7個 : 1010101010101 = 239 * 4649 * 909091
2桁8個 : 101010101010101 = 17 * 73 * 101 * 137 * 5882353
2桁9個 : 10101010101010101 = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 52579 * 333667
2桁10個 : 1010101010101010101 = 41 * 101 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
3桁2個 : 1001 = 7 * 11 * 13
3桁3個 : 1001001 = 3 * 333667
3桁4個 : 1001001001 = 7 * 11 * 13 * 101 * 9901
3桁5個 : 1001001001001 = 31 * 41 * 271 * 2906161
3桁6個 : 1001001001001001 = 3 * 7 * 11 * 13 * 19 * 52579 * 333667
3桁7個 : 1001001001001001001 = 43 * 239 * 1933 * 4649 * 10838689
3桁8個 : 1001001001001001001001 = 7 * 11 * 13 * 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001
3桁9個 : 1001001001001001001001001 = 3 * 3 * 757 * 333667 * 440334654777631
3桁10個 : 1001001001001001001001001001 = 7 * 11 * 13 * 31 * 41 * 211 * 241 * 271 * 2161 * 9091 * 2906161
4桁2個 : 10001 = 73 * 137
4桁3個 : 100010001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901
4桁4個 : 1000100010001 = 17 * 73 * 137 * 5882353
4桁5個 : 10001000100010001 = 41 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
4桁6個 : 100010001000100010001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 99990001
4桁7個 : 1000100010001000100010001 = 29 * 239 * 281 * 4649 * 909091 * 121499449
4桁8個 : 10001000100010001000100010001 = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353
4桁9個 : 100010001000100010001000100010001 = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 9901 * 52579 * 333667 * 999999000001
4桁10個 : 1000100010001000100010001000100010001 = 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081

ちなみに、「10桁の数を10回繰り返す」の場合は、

1000000000100000000010000000001000000000100000000010000000001000000000100000000010000000001 =
101 * 251 * 3541 * 5051 * 21401 * 25601 * 27961 * 60101 * 7019801 * 182521213001 * 14103673319201 * 78875943472201 * 1680588011350901


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三島 久典