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「3桁の数を二度並べる」=「1001を掛ける」
なので(筆算でやると明らか)、これはぜんぜんひねりが無さ過ぎです。
よく本等で紹介されているのは、1001 = 7×11×13 を利用して、
または、
のようにすると、不思議感があったのですが。
1桁の数を2つ並べる: aa = a × 11
2桁の数を2つ並べる: abab = ab × 101
3桁の数を2つ並べる: abcabc = abc × 1001
4桁の数を2つ並べる: abcdabcd = abcd × 10001
5桁の数を2つ並べる: abcdeabcde = abcde × 100001
......
1桁の数を3つ並べる: aaa = a × 111
2桁の数を3つ並べる: ababab = ab × 10101
3桁の数を3つ並べる: abcabcabc = abc × 1001001
4桁の数を3つ並べる: abcdabcdabcd = abcd × 100010001
5桁の数を3つ並べる: abcdeabcdeabcde = abcde × 10000100001
......
1桁の数を4つ並べる: aaaa = a × 1111
2桁の数を4つ並べる: abababab = ab × 1010101
3桁の数を4つ並べる: abcabcabcabc = abc × 1001001001
4桁の数を4つ並べる: abcdabcdabcdabcd = abcd × 1000100010001
5桁の数を4つ並べる: abcdeabcdeabcdeabcde = abcde × 1000010000100001
......
なので、結局、
100...100...1 という数がどのように素因数分解されるか
ということに帰着します。
小さい桁数について、結果を列挙すると、
2桁2個 : 101 = 101 (素数) 3桁2個 : 1001 = 7 * 11 * 13 4桁2個 : 10001 = 73 * 137 5桁2個 : 100001 = 11 * 9091 6桁2個 : 1000001 = 101 * 9901 7桁2個 : 10000001 = 11 * 909091 8桁2個 : 100000001 = 17 * 5882353 9桁2個 : 1000000001 = 17 * 11 * 13 * 19 * 52579 10桁2個 : 1000000001 = 101 * 3541 * 27961
2桁3個 : 10101 = 3 * 7 * 13 * 37 3桁3個 : 1001001 = 3 * 333667 4桁3個 : 100010001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901 5桁3個 : 10000100001 = 3 * 31 * 37 * 2906161 6桁3個 : 1000001000001 = 3 * 19 * 52579 * 333667 7桁3個 : 100000010000001 = 3 * 37 * 43 * 1933 * 10838689 8桁3個 : 10000000100000001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901 * 99990001 9桁3個 : 1000000001000000001 = 3 * 757 * 440334654777631 10桁3個 : 100000000010000000001 = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 * 211 * 241 * 2161 * 2906161
2桁4個 : 1010101 = 73 * 101 * 137 3桁4個 : 1001001001 = 7 * 11 * 13 * 101 * 9901 4桁4個 : 1000100010001 = 17 * 73 * 137 * 5882353 5桁4個 : 1000010000100001 = 11 * 101 * 3541 * 9091 * 27961 6桁4個 : 1000001000001000001 = 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001 7桁4個 : 1000000100000010000001 = 11 * 29 * 101 * 281 * 909091 * 121499449 8桁4個 : 1000000010000000100000001 = 17 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353 9桁4個 : 1000000001000000001000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 101 * 9901 * 52579 * 999999000001 10桁4個 : 1000000000100000000010000000001 = 73 * 101 * 137 * 3541 * 27961 * 1676321 * 5964848081
2桁2個 : 101 = 101 (素数) 2桁3個 : 10101 = 3 * 7 * 13 * 37 2桁4個 : 1010101 = 73 * 101 * 137 2桁5個 : 101010101 = 41 * 271 * 9091 2桁6個 : 10101010101 = 3 * 7 * 13 * 37 * 101 * 9901 2桁7個 : 1010101010101 = 239 * 4649 * 909091 2桁8個 : 101010101010101 = 17 * 73 * 101 * 137 * 5882353 2桁9個 : 10101010101010101 = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 52579 * 333667 2桁10個 : 1010101010101010101 = 41 * 101 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
3桁2個 : 1001 = 7 * 11 * 13 3桁3個 : 1001001 = 3 * 333667 3桁4個 : 1001001001 = 7 * 11 * 13 * 101 * 9901 3桁5個 : 1001001001001 = 31 * 41 * 271 * 2906161 3桁6個 : 1001001001001001 = 3 * 7 * 11 * 13 * 19 * 52579 * 333667 3桁7個 : 1001001001001001001 = 43 * 239 * 1933 * 4649 * 10838689 3桁8個 : 1001001001001001001001 = 7 * 11 * 13 * 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001 3桁9個 : 1001001001001001001001001 = 3 * 3 * 757 * 333667 * 440334654777631 3桁10個 : 1001001001001001001001001001 = 7 * 11 * 13 * 31 * 41 * 211 * 241 * 271 * 2161 * 9091 * 2906161
4桁2個 : 10001 = 73 * 137 4桁3個 : 100010001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901 4桁4個 : 1000100010001 = 17 * 73 * 137 * 5882353 4桁5個 : 10001000100010001 = 41 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 4桁6個 : 100010001000100010001 = 3 * 7 * 13 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 99990001 4桁7個 : 1000100010001000100010001 = 29 * 239 * 281 * 4649 * 909091 * 121499449 4桁8個 : 10001000100010001000100010001 = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353 4桁9個 : 100010001000100010001000100010001 = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 9901 * 52579 * 333667 * 999999000001 4桁10個 : 1000100010001000100010001000100010001 = 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081
ちなみに、「10桁の数を10回繰り返す」の場合は、
1000000000100000000010000000001000000000100000000010000000001000000000100000000010000000001 =
101 * 251 * 3541 * 5051 * 21401 * 25601 * 27961 * 60101 * 7019801 * 182521213001 * 14103673319201 * 78875943472201 * 1680588011350901
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