３．連分数展開の循環節

連分数展開と Pell方程式の解

前ページのプログラムで、連分数展開の各桁の数を求めることもできる。
100以下の自然数 n についての、

• 連分数展開の、整数部、連分数展開の桁数、各桁
• Pell方程式の解
• x²−my²の値

計算結果は、こちら。

代表的なパターンとして、

sqrt(n²+1) = n [2n]
sqrt(n²+2) = n [n, 2n]

これは、直接計算により示すことができる。

この他、sqrt(n) の連分数展開について、以下のことが知られている。

• 2乗数でない n について、sqrt(n) の連分数展開は循環的になる。

• sqrt(n) の連分数展開の循環節は、以下のように回文的になっている。

a₁, a₂, ...... , a_i, ...... , a₂, a₁, b

最後の値 b は整数部の２倍となる。

• 循環節の長さをｋとしたとき、Pell方程式の最小解の右辺の値は、

(-1) ^k

となる。

• sqrt(n) に限らず、a + b*sqrt(n) の形の数（２次無理数）の連分数展開は循環的となる。

連分数展開の明確な形がわかっている数は、上記２次無理数以外では、
e (自然対数の底)、π等、ごく限られた数のみである。
例えば、2の立方根の連分数展開がどのようなパターンになっているのか、
まったくわかっていない。

Pell方程式のように漸化式を扱う場合、a_nの定義自体に a_nの値が入ってくるので、
一般のプログラミング言語では、再帰等、多少工夫が必要となり、わりとめんどくさい。
扱う数値がそれほど大きくないのであれば、Excel等の Spread Sheet の計算式を使った方が楽である。
Pell方程式用の Excel のシートをこちらに示す。