高次方程式 xn-1=0 の代数的解
(2008/06/02)
概要
x に関する方程式、
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
を n 次の代数方程式と呼ぶ。
n=1, 2, 3, 4 の場合は、ベキ根と四則演算による解の公式があるが、
n が5以上の場合、解の公式は存在しない(アーベルの定理)。
一般の代数方程式に関する、ベキ根と四則演算による解の公式は存在しないが、
個々の方程式については、ベキ根と四則演算だけで解を求めることができる場合がある。
特に、円周等分多項式或いは円分多項式と呼ばれる次の方程式、
xn - 1 = 0
は、任意の n について、ベキ根と四則演算だけで解を求めることができる。
このページでは、100以下の n について xn - 1 = 0 の解の、
ベキ根と四則演算による表現を求める。
目次
- 概要
- n=2 の場合
- n=3 の場合
- 1の3乗根を列挙。後で3次方程式を解く時に必要となる
- n=5 の場合
- 1の5乗根を列挙。後で5次方程式を解く時に必要となる
- 2乗のほぐし方
- n=17 も2次方程式だけで解けるが後回し
- n=7 の場合(3次方程式)
- カルダノの公式
- 2乗の係数が0でない場合の公式とプログラム
- 1の7乗根を列挙。後で7次方程式を解く時に必要となる
- Gaussian period 〜 高次方程式を統一的に扱うための準備 その1
- 原始根の説明
- Gaussian period の説明と生成プログラム
- n=17 の場合 〜 2次方程式だけで解けるケース
- n=13 の場合 〜 3次方程式までで解けるケース
- 原始根
- 約数の列
- 各段の Gaussian period、方程式と解
- n=19, 37, 73, 97 について
- 見通しをよくするため、Gaussian period の tree を示す
- 原始根、Gaussian period、方程式、解(媒介変数入り)を列挙
- n=13 : 3 | 2, 2 に対し
- n=19 : 3, 3 | 2
- n=37 : 3, 3 | 2, 2
- n=73 : 3, 3 | 2, 2, 2
- n=97 : 3 | 2, 2, 2, 2, 2
- n=11 の場合 〜 5次以上の高次方程式の代数的解法
- Lagrange resolvent の説明
- n=11 の場合
- Lagrange resolvent の構成
- 5乗計算
- 1の5乗根を代入した値
- 予備方程式の解
- n=11 の解
- 5次で解けるケース : n=31, 41, 61 について
- Lagrange resolvent の構成
- 5乗計算
- 1の5乗根を代入した値
- 予備方程式の構成まで
- n=11 : 5 | 2 に対し
- n=31 : 5 | 3, 2
- n=41 : 5 | 2, 2, 2
- n=61 : 5 | 3, 2, 2
- 高次の場合
- Lagrange resolvent、n乗の値、予備方程式の階層を列挙(一般にn乗計算が大変なので)
- 7次の場合
- n=29 : 7(3) | 2, 2
- n=43 : 7(3) | 3, 2
- n=71 : 7(3) | 5, 2
- 11次の場合
- n=23 : 11(5) | 2
- n=67 : 11(5) | 3, 2
- n=89 : 11(5) | 2, 2, 2
- 13次の場合
- n=53 : 13(3) | 2, 2
- n=79 : 13(3) | 3, 2
- 17次の場合 (103, 137, ...), 19次の場合 (191, 229, ...), は省略 (100以下の素数限定なので)
- 23次の場合
- 29次の場合
- 31次の場合, 37次の場合は省略 (100以下の素数限定なので)
- 41次の場合 (100以下では最高次)
- おまけ 〜 n=389, 97次の Lagrange resolvent と 97乗した式
- まとめ:計算が大変な値
- n=71 : 7(3) | 5, 2 | 7次を解いたあと、さらに5次を解く必要あり
- n=47 : 23(11) | 2 | 1の23乗根は1の11乗根を含んでおり、1の11乗根の中に更に1の5乗根が出てくる
- n=59 : 29(7) | 2 | 1の29乗根は1の7乗根を含む
- n=83 : 41(5) | 2 | 1の41乗根は1の5乗根を含む
参考文献
[1] Jean-Pierre Tignol, 新妻 弘 訳, "代数方程式のガロア理論(原題:Galois' Theory of Algebraic Equations)", 共立出版, 2005/03/15
[2] C. F. Gauss, 高瀬 正仁 訳, "ガウス整数論(原題:Disquisitiones Arithmeticae)", 朝倉書店, 1995
E-mail : kc2h-msm@asahi-net.or.jpHisanori Mishima