7章の無限乗積 Π(1−xn)に対し、符号を変えたもの、
∞
Π(1+xn)=(1+x)(1+x2)(1+x3)・……
n=1
の展開式、及び、その逆数はどのような値になるか。また、何か意味を持つ式になるのか。
マクロは、以下のようになる。初期値と、足すときの符号を変えるだけ。
(1+x) (1+x2) (1+x3)・……と、その逆数。
Sub Record4() Worksheets("Sheet4").Activate Dim a(10), w(10), q(10) k = 10 Cells(1, 1).Value = "n" Cells(1, 2).Value = "a(n)" Cells(1, 3).Value = "q(n)" a(0) = 1: a(1) = 1 For i = 2 To k For j = i To k: w(j) = a(j) + a(j - i): Next j For j = 2 To k: a(j) = w(j): Next j Next i q(0) = 1 For i = 1 To k For j = 0 To i - 1: q(i) = q(i) - p(j) * q(i - j): Next j Next i For i = 0 To k Cells(i + 2, 1).Value = i Cells(i + 2, 2).Value = a(i) Cells(i + 2, 3).Value = q(i) Next iEnd Sub
実行結果は以下のとおり。
A B C 1 n a(n) q(n) 2 0 1 1 3 1 1 -1 4 2 1 0 5 3 2 -1 6 4 2 1 7 5 3 -1 8 6 4 1 9 7 5 -1 10 8 6 2 11 9 8 -2 12 10 10 2
さて、この値に何か意味はあるのか。
まず展開式の係数 a(n) は意味がある。
nの分割において、奇数のみでの分割を考える。そのときの個数が、実は a(n) となっている。
更に、互いに異なる数での分解というのを考えると、これの個数もやはり a(n) に等しくなる。
つまり、任意のnにおいて、
(奇数のみでの分割の個数)=(互いに異なる数での分解の個数)
が成り立つ。これについては、オイラーによる証明がある。
q(n) の方については、まったく見当もつかない。
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