まずは、いきなり Excelの計算式定義から。行・列は R1C1 形式で。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | |
| 3 | 1 | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | ||
| 4 | 1 | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | |||
| 5 | 1 | =R[-1]C+RC[-1] | =R[-1]C+RC[-1] | ||||
| 6 | 1 | =R[-1]C+RC[-1] | |||||
| 7 | 1 |
１行目、１列目には１を入れる。
２行２列目に計算式 =R[-1]C+RC[-1] を入れる（これは、直上と直左を足したもの）。
これを、１行１列目を頂点とした直角三角形になるようにコピーしていく。
計算結果は以下のとおり。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 3 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | ||
| 4 | 1 | 4 | 10 | 20 | |||
| 5 | 1 | 5 | 15 | ||||
| 6 | 1 | 6 | |||||
| 7 | 1 |
この数字の配置をパスカルの三角形という。
ｎ行ｒ列目の値は
nＣr＝ n !
----------
r ! (n−r) !
となっている。
表を左下から右上に斜めに見ていったときの値、例えば、７行１列目から見ていった値、
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
は (ｘ＋ｙ)6 を展開したときの係数になっている。
すなわち、(ｘ＋ｙ)n を展開したときのｒ番目の項 ｘ n-r ｙ r の係数は nＣr となる。これを二項定理と呼ぶ。
(ｘ＋ｙ)n＝ n
Σ
r=0nＣr ｘn-r ｙr
２行２列目から右下に見ていった値、
2, 6, 20, ……
すなわち 2nＣn （ｎ＝1, 2, 3, ……）は、必ずｎ＋１で割り切れる。この、
１
------
ｎ＋１・2nＣn
の値を Catalan数と呼ぶ。
| 目次 | 次頁 |
|---|