黒球の温度上昇の近似計算法
黒球の温度 Tb が気温 T よりいくら上昇するかは、
黒球表面における熱収支式から計算することができる。ここでは黒球は
日射に対しても赤外放射に対しても反射のない黒体とする。いっぽう地表面は
日射に対して反射するが赤外放射に対しては黒体とする。
記号の定義
放射
R↓：球の単位面積当たりに入る入力放射量（W/m2）
I ： 直達日射量（W/m2）
Sd：散乱光（W/m2）
Su＝ref×S：日射の地表面からの反射量（W/m2）
ref：地表面のアルベド
S↓＝I cosθ＋Sd：水平面日射量（全天日射量）
θ ： 太陽の天頂角
Ld：大気放射量（W/m2）
Lu＝σTｓ4：地表面からの赤外放射量（W/m2）
温度と空気の物性
Tb：黒球の表面温度(K)
Ts：地表面温度(K)
T ： 気温(K)
⊿T＝Tb－T：黒球の温度上昇（℃）
T１＝T＋（⊿T/2）：黒球温度と気温の中間温度（K）
α＝４σT１３
Cpρ：空気の体積熱容量（１気圧、20℃で1.21×103 JK-1m-3）
a ： 空気の分子温度拡散係数（１気圧20℃で2.12×10－5m2s-1）
ν ： 空気の動粘性係数（１気圧20℃で1.51×10－5m2s-1）
黒球
ｄ＝0.15ｍ：標準的な黒球の直径
U ： 風速（m/s）
Re＝Ud/ν ：レイノルズ数（無次元）
Gr＝ｇ⊿Tｄ3/（Tν2）：グラスホッフ数（無次元）
ChU＝（a/d)N ： 顕熱の交換速度（m/s）
Nf＝C1＋C2Re(1/2)：強制対流のヌッセル数（無次元）
Nn＝C1＋C3Gr(1/4)：自然対流のヌッセル数（無次元）
N＝C1＋C2Re*(1/2)：両効果を含むヌッセル数（無次元）
Re*(1/2)＝{ Re2＋(C3/C2)4Gr }(1/4)
球に対する熱交換の係数
C1＝２
C2＝0.6
C3＝0.46
（注1） この実験定数のうち C2＝0.6 は今回の直径0.15ｍの
黒球に対して Re＝３×10３～６×10４の範囲に適用
できるように選んだ値である。
もともとは、 Re＝２×10３～２×10５の範囲において、
もっとも近似のよい式は、
Nf＝２＋0.34×Re0.57
であるが、黒球の温度上昇の計算では、ベキ数＝0.5としたほうが式が単純
になるので、0.34の代わりに0.6、ベキ数0.57の代わりに0.5を用いた。
（注２）サイズが通常の温度計、すなわち0.01ｍ程度以下の球について、
10＜Re<２×10３の範囲では、C1＝２、
C2＝0.49、C3＝0.46である（「大気境界層の
科学」、表3.1参照）。
なお、C1＝２、C3＝0.46は今回の
条件 Re＝３×10３～６×10４、
Gr＝10６～７×10５の範囲まで適応できる。
その他
ｇ＝9.8 m/s2：重力の加速度
σ＝5.67×10－8W m－2K－4：ステファン－ボルツマン定数
黒球は熱伝導のよい金属で作られており、その温度は一様分布として
定常状態を仮定すれば、熱収支式は次式で表される。
R↓－σTb4＝Cpρ(ChU) (Tb－T)・・・・・・・・(1)
σTb4≒σT4＋α（Tb－T）・・・・・・・・・・・・・・・(2)
近似の精度を上げるために、α は記号で定義したように T と Tb の中間
温度 T１ における（σT4） の勾配である。
上式から黒球の温度上昇は次式によって表される。
⊿T≡Tb－T＝（R↓－σT4）/ ｛ α＋Cpρ(a/d)N }・・・・・(3)
分母のヌッセル数 N はグラスホッフ数 Gr の関数であり、 Gr には
⊿T が含まれている。さらに α の定義：
α≡４σT１3＝４σ｛T＋（⊿T/2）｝3
にも⊿Tが含まれている。そこで、計算は次の順序で行い精度を上げる。
（ⅰ）⊿Tとして適当な値（例えば5℃）を仮定して、式(3)から⊿T の第２近似を計算する。
（ⅱ）第２近似の⊿T を α と Gr に代入して、同様に⊿T の第３近似値を計算する。
入力放射量 R↓
球から出て行く顕熱（式１の右辺）と赤外放射（式１の左辺第２項）は、
球の全表面積 ４πｒ２から出るのに対して、入力放射の内の
直達光 I は球の断面積 πｒ２に入射し、その他の成分
（Sd、Ld、Su、Lu）は上半球または下半球の面積 ２πｒ２に入る。
簡単化のために、直達日射 I 以外の散乱光（天空光）などの成分は
方向によらず一様分布と仮定する。さらに、黒球と地表面間の距離は短く、
地表面からの赤外放射 Lu は途中の水蒸気などで吸収されずに黒球に入射する
と近似すれば、球の単位面積当たり
に入る放射成分は次式で表される。
R↓＝I/4 ＋（Sd＋Ld＋Su＋Lu）/2・・・・・・・・・(4)
この値 R↓ を式(3)に代入して黒球の温度上昇⊿T を求める。
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