寺田寅彦の学位論文の誤りについて

序
誤りの内容
寺田の管長さ補正式
高次の補正式
検証と考察
序
 　寺田寅彦の学位論文 "ACOUSTICAL INVESTIGATION OF THE JAPANESE BAMBOO PYPE, SYAKUHATI" は "Journal of College of Science, Tokyo, XXI, Art. 10, pp.1-34,1907" として発表されたものである。また1985年に岩波書店から刊行された「寺田寅彦全集　科学篇（全6巻）」の第1巻にも収録されている(pp211-232)。筆者は国会図書館でコピーを入手したが、他にも少し大きな図書館なら蔵書されているかも知れない。
　この論文で寺田は和楽器の尺八について、種々の音響学的特性を実験的に解明しようとしている。そしてまた、既往の様々な知見、とりわけ Rayleigh の理論との整合性について考察しているのだが、その過程で明らかに初歩的な誤りを犯している。
　100年近くも昔の論文であるし、「重箱の隅」というそしりもあるかも知れない。しかしあの寺田寅彦である。このような論文にも興味を持つ人は少なくないだろう。1985年という比較的近年になってこれが刊行されているのもその証左と言えるだろうし、また前述のケンタウルスさんのように尺八の製作という実用目的でこの論文に触れる人も現にいることを考えると、誤りを指摘しておくことはあながち無意味とも思われないのである。
　また、当時の東京帝国大学理科大学の教授陣（その中には長岡半太郎のような大家もいた）がこのような誤りに気付かなかったとすれば、これもなかなか興味深い。
　もっとも、そのような有名人の学位論文であるから、疾くに訂正が公表されているという可能性も考えられなくはない。もしそうであれば、今さらこれを指摘するのは間抜けな話ではある。が、そのような自らの浅学を嘲笑されることも半ば覚悟の上で、今は書き留めておく。筆者も寺田同様、「楽しみのために」これを書いているので、世間に認められなくても特に意に介するつもりもない。
　なお、寺田のこの誤りは基本的に初歩的なものであるが、その誤り故に寺田は自らの実験結果に潜む重要な意味を見落としてしまっている。本稿の後半では理論的考察によりこの部分を明らかにする。

　なお、本稿の内容を2002年7月に岩波書店「科学」に投稿したが、未だ掲載されない。おそらく没にされたんだろう。それはそれ、岩波書店の判断であるから致し方ないが、このページには掲載を続けて、世に問うこととしたい。

誤りの内容
 　その誤りは "4. Effects of Knots." にある。
　寺田はここで尺八の節の効果を実験的に解明している。実験は、内径4cmのガラス管を用い、これにピストンを付けて、特定の音叉を近付けたときに共鳴が最大になる管の長さを調べるというものである。そして、管内に図のようなダイヤフラム(diaphragm)を入れると、共鳴点が変わる。その管長さ変化を測定したものである。
　寺田はダイヤフラムの中心孔の径を変え、またダイヤフラムの管内での位置を変え、ダイヤフラムの長さを変えて実験を繰り返している。また下の図のように孔の径が円錐状に変わる場合についても実験している。

　そして TABLE V はダイヤフラムの孔の径（ｒ）を変えたときの管長さの変化量Δｌ　を示したものである。
　寺田はこれを Rayleigh による管長さ補正の理論式と比較した。その理論式によれば、Δｌ　は管の断面積の変化量ΔＳに比例する。ここでΔＳは、管の断面積の平均値Ｓ0と、ダイヤフラムの孔の断面積との差である。

　そして寺田はこの関係を
　　Δｌ　∝ΔＳ　or　Δｌ　∝（Ｒ−ｒ）2
　where R is the radius of the cylinder and r that of the channel.
と表現している。明らかにこれは誤りで、正しくは
　　Δｌ　∝Ｒ2−ｒ2
である。

「寺田寅彦全集　科学篇（全6巻）」（岩波書店）第1巻より

寺田の管長さ補正式
 　寺田が自らの実験結果と比較したのは、次の Rayleigh による管長さ補正式である。
Δｌ＝ 　　　　　　　　　§265(8)

　寺田は、上式で
　　ξ−ａ≦ｘ≦ξ＋ａ
　　その他 		　　において
　　において 		　ΔＳ＝ｃｏｎｓｔ．
　ΔＳ＝０
 　　　　　　　(1)
として（つまり長さ２ａのダイヤフラムに相当）、次の式を得ている。
Δｌ＝ 　　　　　　　　　(2)
　ここでひとつ注意しておきたいことがある。§265(8)は符号が逆なのである。これは Raylegh のこれの直上の式から容易にわかることである。
ｎ2＝（ ｝　　　　　　　　　§265(7)
　ここでｎは音のピッチ（振動数）、ｃは音速である。

　断面変化が無い（ΔＳ＝０）場合のピッチは当然
ｎ2＝（
であるから、ｎが変化しないためには、§265(7)のｌ　を
　　ｌ＝ｌ0＋Δｌ
とした場合、Δｌ　は§265(8)に−をつけたものでなければならない（ここで、Δｌ／ｌ0　は微小として2次以上を無視している）。
　実際、寺田の実験ではダイヤフラム部分の断面積は他の部分より小さい（ΔＳ＜０）。そして実験結果ではダイヤフラムの位置が一端に近い（ξ　＜　ｌ／４）場合には　Δｌ　＞　０　となり、端から遠い（ξ　＞　ｌ／４）場合は　Δｌ　＜０　となる。これは(2)に−を付けなければ辻褄が合わない。
　これは一見単なる notation の問題のようであるが、以降の議論では重要な意味を持つのである。

(2)式はξ　＝　ｌ／４　において　Δｌ　＝０　となるが、これが実験結果とよく一致していることは寺田も述べている。なお(2)式では他端ξ　＞　３ｌ／４　でも　Δｌ　＞　０　となるが、これは実験結果には見られない。

高次の補正式
 　寺田の管長さ補正式(2)は Rayleigh の§265(7)式から導かれたものであることは既に述べた。ところで後者は、そのまた直上の、管の断面積Ｓによるピッチの変化式
ｎ2＝（ 　　　　　　　　　§265(6)
において、Ｓ＝Ｓ0＋ΔＳ　とし、ΔＳの2次以上の項を無視して得られたものである。
　寺田の実験（および尺八の節）においては、この近似は正しくない。寺田自身、
"In the case of syakuhati, the change of section due to the knots is rather abrupt"
と述べているとおりである。そして実験では、直径4cmのガラス管の中に、内径1〜3cmのダイヤフラムを入れている。たとえば内径1cmの場合、
であり、2次以上の項も無視できない。
　そこで、Rayleigh §265(6) に寺田の条件(1)を適用してみる。
　§265(6)は
"the velocity normal to any section S is constant over the section, as must be very nearly the case when the variation of S is slow"
という条件の下で導かれたもので、したがってこれもＳの急激な変化を想定していない。しかしながら、これの物理的な適用限界は§265(7) のような数学的な線形近似による限界と一致するかどうかはわからないだろう。

　このとき、次の式が得られる。

ν2＝
　　　　　　　　　(3)
ここで
ν＝ 　　　　　　　　　(4)
ｋ＝ 　　　　　　　　　(5)
　ΔＳ＝０のとき、
　　ν＝ν0＝１
このときの管の長さは
ｌ0＝
　Rayleigh §265(8) の導出と同様に 　　ｌ＝ｌ0＋Δｌ
として、Δｌ　の高次の項を省略する（ΔＳの、ではない！）。

Δｌ＝
　　　　　　　　　(6)
　ただし
Ｆ＝
　この式の分子は（符号を別にして）寺田の補正式(2)に一致している。つまり寺田の式はこの分母を１としたもの（或いは同じことであるがΔＳ／Ｓ0の高次の項を省略したもの）であるが、前にも述べたように、この近似は正しくないのである。
　高次の補正式(6) の分母を見積もってみる。寺田の実験では
ｋａ＝
が概ね満たされるので、
　　ｓｉｎ（ｋａ）〜ｋａ
などより、Ｆ／ｌ0，∂Ｆ／∂ｌ　はすべてａ／ｌ0のオーダーである。結局(6)の分母は
１＋α
ただし
　　　　α〜（１よりちょっと小さいぐらい）
と考えて良いだろう。
　そして、寺田の実験ではΔＳ＜０であることを思い起こして頂きたい。この事情をはっきりさせるために、絶対値で表記すると
｜Δｌ｜∝ 　　　　　　　　　　(7)
　つまり、絶対値で考えると、ΔＳが増加するときΔｌ　は寺田の補正式（分母が１）に比べて急激に増大するのである。

検証と考察
 　(7)式で　α＝１　としたものと、寺田の TABLE V (pp225)のΔｌ　とを比較してみると、相関係数 0.997 という恐ろしいくらい良好な関係が見られる。図の赤線がそれで、黒丸は実測値である。
　TABLE　V　は
　　ｃｏｓ（ｋξ）＝１
　の場合である。そして
　　ｓｉｎ（ｋａ）〜ｋａ＝２πａ／ｌ
であるから、
　　Ｆ〜２ａ＝1cm
となり、(7)式の比例係数は、cm単位で１である。
　寺田の誤った算定は青線になる。寺田は実測値の
"the correction increases with the decrease of the sectional area of the passage, first slowly and then rapidly"
という性質とこの結果との関係を
"verified qualitatively"
と見たのであるが、もしΔＳを正しく算定していれば緑線になり、この定性的関係も認められなかったはずである。

　しかしもっと重要なのは、寺田も
"we see generally that the actual values of Δｌ are far greater than the theoretical values"
と述べているように、青線および緑線は実測値の大きな変動に全く対応していないことである。つまり、ΔＳに比例するという寺田の補正式(2)では実測値を全く説明できないので、(7)式の分母を正しく評価する必要があるのである。だからその後の
"the disturbance due to the end of the diaphragm is considerable"
というのも当たらなくて、これらは専らΔＳの算定ミスと補正式の不適切に起因しているのである。

　実は Rayleigh の式も比較的緩やかな断面変化を想定して導かれたものである。むしろ寺田の実験結果はそれにもかかわらず、このようにかなり急激な変化についてもこの式が適用できるということを示しているところが結構重要であろうと思えるのだが、我らが寺田寅彦先生は、ΔＳでつまづいたがために、これに気付かなかったのである。学生時代に「レイリーが随分骨身にしみた」という寺田にして、この誤りは不可解である。

　それにしても、東京帝国大学理科大学（現東京大学大学院理学研究科）の教授陣がこんなミスを見逃したとは！

Oct. 4, 2002