概要
歳差により天の北極点は移動している。BC500頃には「こぐま座β（βUMi）」が北極星だったという。また古代エジプト時代は「りゅう座α（αDra）」が北極星であり、12000年程前には「こと座α（αLyr：織女星）」がそうだった。「天の北極」は25800年の周期で天球上に小円を描いているという。
天球上の小円
ここではその「天球上の小円」を求めてみる。
赤緯λ、赤経をφとして、天球は
ｘ＝ｃｏｓλｃｏｓφ
ｙ＝ｃｏｓλｓｉｎφ （１）
ｚ＝ｓｉｎλ
で表される。
天球上の小円は、これと平面
ｂ
x
ｘ＋ｂ
y
ｙ＋ｂ
z
ｚ＝ｃ
との交線である。ただし、北極（λ＝０、したがってｘ＝ｙ＝０、ｚ＝１）を通るから、
ｂ
z
＝ｃ
ここで、すべての係数をｃで割って、
とすると、平面の方程式は
Ｂ
x
ｘ＋Ｂ
y
ｙ＋ｚ＝１ （２）
そして「天の北極」の軌道は
北極軌道の中心
Ｂ
＝（Ｂ
x
，Ｂ
y
，１）
というヴェクトルを考える（以下、
イタリック
はヴェクトルを表すものとする）。
位置ヴェクトルを
ｘ
＝（ｘ，ｙ，ｚ）
とすれば、平面の方程式（２）は、
Ｂ
・
ｘ
＝｜
Ｂ
｜｜
ｘ
｜ｃｏｓθ＝１ （４）
と書ける。ここでθは
Ｂ
と
ｘ
のなす角である。
ところで、北極軌道小円（３）は、必ず天球（１）上の点である。したがってそれらの点では、
｜
ｘ
｜＝１
一方、
Ｂ
の成分は一定値であるから、当然｜
Ｂ
｜は一定である。したがって（４）から、北極軌道小円上ではθも一定でなければならない。このことは、
Ｂ
が北極軌道小円の中心方向を向くヴェクトルであることを示す。
北極軌道小円の中心の赤緯をλ
c
、赤経をφ
c
とすると、
ただし
Ｂ＝｜
Ｂ
｜＝｛Ｂ
x
2
＋Ｂ
y
2
＋１｝
1/2
これから、
一方、λ
c
、φ
c
の値は次のとおりである。
λ
c
＝66.5°
φ
c
＝18h
したがって、
（５）のｃｏｓθは、北極軌道小円各点からこの中心方向への射影である。したがって
Ｂ
と平面（２）の交点を（ｘ
c
，ｙ
c
，ｚ
c
）とすると、
一方、（５）および｜
ｘ
｜＝１から
したがって、
は、
ｘ
c
＝（ｘ
c
，ｙ
c
，ｚ
c
）を中心とする軌道小円の半径である。したがって、小円の周長は
天の北極はこの周をＴ＝ で周回する
というから、1年間の移動量は
回転の角速度は
現在の北極の位置ヴェクトルを
ｘ
P
とする。
ｘ
P
＝（０，０，１）
ｔ年前／後の北極
ｘ
t
は、
ｘ
c
を中心として、
ｘ
P
からωｔだけ回転した位置である。すなわち、
（
ｘ
P
−
ｘ
c
）・（
ｘ
t
−
ｘ
c
）＝ｓｉｎ
2
θｃｏｓωｔ
これから、
これと（３）'から、ｔ年前／後のλ
t
およびφ
t
が求められる。
オレンジの線
は過去の天の北極の軌跡。数字は年数。
赤
は1300年前の天の北極。
λ
t
は現在の北極（90°）とβUMi（74°7.2′）のちょうど中間あたりである。しかしφ
t
は現在の北極とβUMi（14h50m41s）を真っ直ぐ結んだ直線（大円）から2h（30°）以上ずれている。
ｔ年前の赤道は
ｃｏｓΘ＝ｓｉｎλｓｉｎλ
t
＋ｃｏｓλｃｏｓλ
t
ｃｏｓ（φ−φ
t
）＝０
より、
ｔａｎλ=−ｔａｎ（90°−λ
t
）ｓｉｎ（φ−（φ
t
−6h）） (11)
黄道は、
ｔａｎλ=ｔａｎ（ε）ｓｉｎ（φ） (12)
ただし、
これはうお座の中であるが、現在よりもおひつじ座との境界に近い。西洋占星術では春分点をおひつじ座としているが、これは紀元前の頃にそうだったものを未だに踏襲しているのである。ともかく、1300年前には春分点がおひつじ座に近付くというのは、この事実に合致する。
次に、αLyr（ヴェガ）の現在の赤緯、赤経は
であるが、ｔ年前はどうであったか？
まず、αLyrを通る子午線は、（λ
V
，φ
V
）と当時の北極（λ
t
，φ
t
）を通る大円であるから、
ｃ
x
ｘ＋ｃ
y
ｙ＋ｚ＝０
と表せる。これを、（ｘ
V
，ｙ
V
，ｚ
V
）と（ｘ
t
，ｙ
t
，ｚ
t
）について連立させたものからｃ
x
、ｃ
y
が得られる。
すなわち、大円は
これとｔ年前の赤道(13)との交点を（λ
Vt0
，φ
Vt0
）とすると、
ただし
これから
ｔ年前のヴェガの赤緯、赤経度を（λ
Vt
，φ
Vt
）とすると、
ｃｏｓλ
Vt
＝
ｘ
V
・ｘ
Vt0
ｃｏｓφ
Vt
＝
ｘ
St
・ｘ
Vt0
すなわち、
一方赤緯は約38.3°で、現在の約38.8°よりやや南に寄る。