最小二乗法による偏心双極子の位置の決定

1930 年代に Adolf Schmidt は \(n\)=2 の項の二乗和を最小にすることにより，偏心双極子の位置を決定する公式を導きました．以下の解説では，簡単のために地球の半径 \(a\) を \(a=1\) としました．

偏心双極子の位置 \((x_c,y_c,z_c)\) は次の \(S\) を最小にすることで決定されます． \begin{eqnarray*} S & = & \left(g_2^0-2g_1^0z_c+g_1^1x_c+h_1^1y_c\right)^2 \\ & & + \left(g_2^1-\sqrt{3}(g_1^0x_c+g_1^1z_c)\right)^2 + \left(h_2^1-\sqrt{3}(g_1^0y_c+h_1^1z_c)\right)^2 \\ & & + \left(g_2^2-\sqrt{3}(g_1^1x_c-h_1^1y_c)\right)^2 + \left(h_2^2-\sqrt{3}(h_1^1x_c+g_1^1y_c)\right)^2. \end{eqnarray*} \(\partial S/\partial z_c = 0\) として， \begin{eqnarray*} \partial S/\partial z_c & = & -4g_1^0\left(g_2^0-2g_1^0z_c+g_1^1x_c+h_1^1y_c\right) \\ & & - 2\sqrt{3}g_1^1\left(g_2^1-\sqrt{3}(g_1^0x_c+g_1^1z_c)\right) - 2\sqrt{3}h_1^1\left(h_2^1-\sqrt{3}(g_1^0y_c+h_1^1z_c)\right) = 0. \end{eqnarray*} これは次式に簡略化されます． \begin{equation} g_1^0g_1^1x_c + g_1^0h_1^1y_c + \left(4(g_1^0)^2+3(g_1^1)^2+3(h_1^1)^2\right)z_c \\ = 2g_1^0g_2^0 + \sqrt{3}g_1^1g_2^1 + \sqrt{3}h_1^1h_2^1. \label{eq01} \end{equation} 同様にして， \begin{eqnarray*} \partial S/\partial x_c & = & 2g_1^1\left(g_2^0-2g_1^0z_c+g_1^1x_c+h_1^1y_c\right) - 2\sqrt{3}g_1^0\left(g_2^1-\sqrt{3}(g_1^0x_c+g_1^1z_c)\right) \\ & & - 2\sqrt{3}g_1^1\left(g_2^2-\sqrt{3}(g_1^1x_c-h_1^1y_c)\right) - 2\sqrt{3}h_1^1\left(h_2^2-\sqrt{3}(h_1^1x_c+g_1^1y_c)\right) = 0, \end{eqnarray*} これは次のようになります． \begin{equation} \left(3(g_1^0)^2+4(g_1^1)^2+3(h_1^1)^2\right)x_c + g_1^1h_1^1y_c + g_1^0g_1^1z_c \\ = -g_1^1g_2^0 + \sqrt{3}g_1^0g_2^1 + \sqrt{3}g_1^1g_2^2 + \sqrt{3}h_1^1h_2^2. \label{eq02} \end{equation} \(\partial S/\partial y_c = 0\) からは， \begin{eqnarray*} \partial S/\partial y_c & = & 2h_1^1\left(g_2^0-2g_1^0z_c+g_1^1x_c+h_1^1y_c\right) - 2\sqrt{3}g_1^0\left(h_2^1-\sqrt{3}(g_1^0y_c+h_1^1z_c)\right) \\ & & + 2\sqrt{3}h_1^1\left(g_2^2-\sqrt{3}(g_1^1x_c-h_1^1y_c)\right) - 2\sqrt{3}g_1^1\left(h_2^2-\sqrt{3}(h_1^1x_c+g_1^1y_c)\right) = 0, \end{eqnarray*} を得，次式となります． \begin{equation} g_1^1h_1^1x_c + \left(3(g_1^0)^2+3(g_1^1)^2+4(h_1^1)^2\right)y_c + g_1^0h_1^1z_c \\ = -h_1^1g_2^0 + \sqrt{3}g_1^0h_2^1 - \sqrt{3}h_1^1g_2^2 + \sqrt{3}g_1^1h_2^2. \label{eq03} \end{equation}

ここで以下のように \(m^2\) を導入し，式 \eqref{eq01}， \eqref{eq02}， \eqref{eq03} の右辺をそれぞれ \(L_0\)， \(L_1\)， \(L_2\) と置きます． \begin{eqnarray*} m^2 & = & (g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2, \\ L_0 & = & 2g_1^0g_2^0 + \sqrt{3}\left(g_1^1g_2^1 + h_1^1h_2^1\right), \\ L_1 & = & -g_1^1g_2^0 + \sqrt{3}\left(g_1^0g_2^1 + g_1^1g_2^2 + h_1^1h_2^2\right), \\ L_2 & = & -h_1^1g_2^0 + \sqrt{3}\left(g_1^0h_2^1 - h_1^1g_2^2 + g_1^1h_2^2\right). \end{eqnarray*} これらの表現を用いて，方程式 \eqref{eq01}， \eqref{eq02}， \eqref{eq03} は次のようになります． \begin{eqnarray} g_1^0g_1^1x_c + g_1^0h_1^1y_c + \left((g_1^0)^2+3m^2\right)z_c = L_0, \label{eq04} \\ \left((g_1^1)^2+3m^2\right)x_c + g_1^1h_1^1y_c + g_1^0g_1^1z_c = L_1, \label{eq05} \\ g_1^1h_1^1x_c + \left((h_1^1)^2+3m^2\right)y_c + g_1^0h_1^1z_c = L_2. \label{eq06} \end{eqnarray} 式 \eqref{eq04} と \eqref{eq05} を用いて， \(\eqref{eq05}\times\left((g_1^0)^2+3m^2\right)-\eqref{eq04}\times g_1^0g_1^1\) を実行すると次式を得ます． \begin{equation} 3m^2\left((g_1^0)^2+(g_1^1)^2+3m^2\right)x_c + 3m^2g_1^1h_1^1y_c = \left((g_1^0)^2+3m^2\right)L_1 - g_1^0g_1^1L_0. \label{eq07} \end{equation} 式 \eqref{eq05} と \eqref{eq06} からは， \(\eqref{eq05}\times h_1^1-\eqref{eq06}\times g_1^1\) により次式を得ます． \begin{equation} 3m^2h_1^1x_c - 3m^2g_1^1y_c = h_1^1L_1 - g_1^1L_2 \label{eq08} \end{equation} \((g_1^0)^2+(g_1^1)^2+(h_1^1)^2=m^2\) に注意して \eqref{eq07} と \eqref{eq08} を \(x_c\) について解くと， \(x_c\) は次式となります． \begin{equation} 3m^2x_c = L_1 - g_1^1\left.\left(L_0g_1^0+L_1g_1^1+L_2h_1^1\right)\right/(4m^2). \label{eq09} \end{equation} 同様にして， \(y_c\) については \eqref{eq07} と \eqref{eq08} から次式となります． \begin{equation} 3m^2y_c = L_2 - h_1^1\left.\left(L_0g_1^0+L_1g_1^1+L_2h_1^1\right)\right/(4m^2). \label{eq10} \end{equation} \(z_c\) については， \eqref{eq09} と \eqref{eq10} を \eqref{eq05} へ代入し，多少面倒な式の変形により次式となります． \begin{equation} 3m^2z_c = L_0 - g_1^0\left.\left(L_0g_1^0+L_1g_1^1+L_2h_1^1\right)\right/(4m^2). \label{eq11} \end{equation}

地球の半径 \(a\) を含め，新しく記号 \(E\) を導入して，偏心双極子の位置 \((x_c,y_c,z_c)\) を与える Schmidt の公式は以下のようにまとめられます． \begin{eqnarray*} x_c & = & a\left.\left(L_1 - g_1^1E\right)\right/(3m^2), \\ y_c & = & a\left.\left(L_2 - h_1^1E\right)\right/(3m^2), \\ z_c & = & a\left.\left(L_0 - g_1^0E\right)\right/(3m^2), \end{eqnarray*} ここに， \begin{eqnarray*} m^2 & = & (g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2, \\ E & = & \left.\left(L_0g_1^0+L_1g_1^1+L_2h_1^1\right)\right/(4m^2), \\ L_0 & = & 2g_1^0g_2^0 + \sqrt{3}\left(g_1^1g_2^1 + h_1^1h_2^1\right), \\ L_1 & = & -g_1^1g_2^0 + \sqrt{3}\left(g_1^0g_2^1 + g_1^1g_2^2 + h_1^1h_2^2\right), \\ L_2 & = & -h_1^1g_2^0 + \sqrt{3}\left(g_1^0h_2^1 - h_1^1g_2^2 + g_1^1h_2^2\right). \end{eqnarray*}

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