四角系: 90度: tan(π/2) =∞
π/2 = arctan(∞)
三角系: 60度: tan(π/3) =3
π/3 = arctan(3)
五角系: 36度: tan(π/5) =(5-25) π/5 = arctan((5-25))
これらを二分する事を考えよう。
tanの加法定理より、任意角とその二分角との関係は、次式のようになる。
tan θ' = ±(tan^2(θ)+1) -1 / tan(θ)
同式を適用することで、(2^n)分角が機械的に求まる。
π/2 → π/4 → π/8 → π/16 → π/32 → ・・・
π/3 → π/6 → π/12 → π/24 → π/48 → ・・・
π/5 → π/10 → π/20 → π/40 → ・・・
また、任意角同士の差分も、tanの加法定理で容易に導ける 。
tan (α-β) = (tan(α)-tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))
ここで、30度-18度、すなわち π/6-π/10 = π/15 を求めると、
三角・五角複合系: 12度: tan(π/15) = (33-15-(50-225)) / 2
π/15 = arctan( (33-15-(50-225)) / 2 )
これも二分が可能である。
π/15 → π/30 → π/60 → ・・・
一般に、円周の分割を論じる問題を「円分問題」と称す。
すでに述べたように、π/n の n が素数で表せるものは、2/3/5 であった。
これは、2=(2^0+1)、3=(2^1+1)、5=(2^2+1) とも表される。
同様に、17=(2^4+1)、257=(2^8+1)、65537=(2^16+1)、 すなわち、円の17等分、257等分、65537等分、も可能な事が
Gauss によって証明されている。
π/2 = arctan( ∞ )
π/3 = arctan( 3 )
π/4 = arctan( 1 )
π/5 = arctan( (5-25) )
3
π/6 = arctan( ----- )
3
π/8 = arctan( 2-1 )
(25-105)
π/10 = arctan( ------------- )
5
π/12 = arctan( 2-3 )
33-15-(50-225)
π/15 = arctan( ----------------------- )
2
π/16 = arctan( (4+22) -2 -1 )
1-φ
π/17 = arctan( ( ----- ) )
1+φ
π/20 = arctan( -(5+25) +5 +1 )
π/24 = arctan( 2(2+3) -3 -2 )
(10-25) +3 -15
π/30 = arctan( --------------------- )
2
π/32 = arctan( (8+42+4(20+142)) -(4+22) -2-1 )
2(1-φ) -(1-φ^2)
π/34 = arctan( --------------------- )
1-φ
π/40 = arctan( (12+45+2(50+225)) -(5+25) -5-1 )
π/48 = arctan( (16+83+4(26+153)) -2(2+3) -3-2 )
(110-603+465-2815) -33 +25 -15+4
π/60 = arctan( -------------------------------------------- )
2