【多重展開】のコラムで求めた 1 = ΣS/ΣS' の諸公式において、分母が0になる場合を考える。
左辺が ∞ となる事から、同条件は π/2 = Σarctan(1/n) を論じるのと同義である。
1次式
tan(π/2) = ∞
π/2 = arctan(1/0)
2次式
tan( arctan(1/a) + arctan(1/b) ) = (a+b) / (ab-1)
左辺 =∞ と (ab-1) = 0 とは同義である、よって
π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)
上式が成立するための a/b の条件は次の通り
3次式
tan( arctan(1/a) + arctan(1/b) + arctan(1/c) ) = ((ab+ac+bc)-1) / ((abc)-(a+b+c))
左辺 =∞ と ((abc)-(a+b+c)) = 0 とは同義である、よって
π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)
上式が成立するための a/b/c の条件は次の通り
R2 = ab
R1 = a+b
4次式
同様に、
π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)
上式が成立するための a/b/c/d の条件は次の通り
R3 = abc
R2 = ab+ac+bc
R1 = a+b+c
5次式
同様に、
π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)
上式が成立するための a/b/c/d /e の条件は次の通り
R4 = abcd
R3 = abc+abd+acd+bcd
R2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd
6次式
同様に、
π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)
上式が成立するための a/b/c/d /e/f の条件は次の通り
R5 = abcde
R4 = abcd+abce+abde+acde+bcde
R3 = abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde
R2 = ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de
R1 = a+b+c+d+e
7次式
同様に、
π/2 = arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)+arctan(1/d)+arctan(1/e)+arctan(1/f)+arctan(1/g)
上式が成立するための a/b/c/d /e/f/g の条件は次の通り
R6 = abcdef
R5 = abcde+abcdf+abcef+abdef+acdef+bcdef
R4 = abcd+abce+abcf+abde+abdf+abef+acde+acdf+acef+adef+bcde+bcdf+bcef+bdef+cdef
R3 = abc+abd+abe+abf+acd+ace+acf+ade+adf+aef+bcd+bce+bcf+bde+bdf+bef+cde+cdf+cef+def
R2 = ab+ac+ad+ae+af+bc+bd+be+bf+cd+ce+cf+de+df+ef
R1 = a+b+c+d+e+f