いずれの公式も arctan(1/1) の逐次展開で求める事ができる。
以下に実例を示す。
[Euler の公式]
arctan(1/1)
↓
arctan(1/2)+arctan(1/3)
[Dahse の公式]
arctan(1/2)+arctan(1/3)
↓
arctan(1/2)+arctan(1/5)+arctan(1/8)
[Vega の公式]
arctan(1/2)+arctan(1/3)
↓
2arctan(1/2)-arctan(1/7)
[Clausen の公式]
arctan(1/2)+arctan(1/3)
↓
2arctan(1/3)+arctan(1/7)
[Gauss の公式]
arctan(1/2)+arctan(1/3)
↓
2arctan(1/3)+arctan(1/7)
↓
2arctan(1/5)+arctan(1/7)+2arctan(1/8)
↓
2arctan(1/5)+3arctan(1/7)-2arctan(1/57)
↓
5arctan(1/7)+2arctan(1/18)-2arctan(1/57)
↓
5arctan(1/12)+5arctan(1/17)+2arctan(1/18)-2arctan(1/57)
↓
10arctan(1/17)+2arctan(1/18)+5arctan(1/41)-2arctan(1/57)
↓
12arctan(1/18)+5arctan(1/41)-2arctan(1/57)+10arctan(1/307)
↓
12arctan(1/18)+5arctan(1/41)+8arctan(1/57)-10arctan(1/70)
↓
12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/70)+5arctan(1/99)
↓
12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
[Machin の公式]
12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
↓
12arctan(1/18)+8arctan(1/70)-5arctan(1/239)+8arctan(1/307)
↓
8arctan(1/17)+4arctan(1/18)+8arctan(1/70)-5arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)-4arctan(1/7)+8arctan(1/17)+8arctan(1/70)-5arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)-4arctan(1/12)+4arctan(1/17)+8arctan(1/70)-5arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)-4arctan(1/41)+8arctan(1/70)-5arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)+4arctan(1/70)-4arctan(1/99)-5arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)-arctan(1/239)
[Rutherford の公式]
4arctan(1/5)-arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)-arctan(1/70)+arctan(1/99)
[Vega の公式]
4arctan(1/5)-arctan(1/239)
↓
4arctan(1/5)-arctan(1/408)-arctan(1/577)
↓
4arctan(1/5)-2arctan(1/408)+arctan(1/1393)