流れの種類
常流と射流、限界流
川の流れを観察していると、ゆったりとした流れといわゆる急流の流れがある。そして、急な流れの終点部では、渦を巻いて水位が上昇を起こしているのが観察できる。速い流れが下流の流れに突っ込んで行くようにも見え、また、下流の水位が高いのに上流の水位に影響を与えず、水面が不連続となるのは不思議に感じられる。
このことは、お風呂に水を入れているときなどにも観察できる。
この現象は、直感的に流速の違いによるものという気がするが、 この現象を、理論的に検証してみる。
| 落差工 | |
１ 比エネルギー
| 右図において、水路床を基準として、ベルヌーイの定理を開水路に当てはめると、水路床からエネルギー線までの高さをＥとすれば、次のようになる。 流速  とすると （５-５-１）このＥを比エネルギーという。 水深Ｈ は、流れの中の任意の点Ｐ における水路床からの位置エネルギーｄ と点Ｐ における圧力水頭（P/ｗ）の合計となる。 補足 P＝ρｇｈ、 ｗ＝ρｇ、 P/ｗ＝ｈ |
 |
補足説明
比エネルギーは、単位体積重量について水の持つ全エネルギーです。
ここで、水理学でのエネルギー保存の法則を考えてみる。
高校の物理で学習したエネルギー保存の法則は、単位時間に移動する水の質量 ｍ＝（密度）×（体積）＝ρ・ａ・ｖ から次表のように整理される。
ベルヌーイの定理は、水理学の表現を単位時間に移動する水の重量＝Ｗ＝ｍｇ＝ρ・ａ・ｖ・ｇ で割ったもので、単位体積重量の各エネルギーの大きさを表します。これは、長さの単位を持ち「水頭」という。
ρ：密度、a：流水面積、v：流速
比エネルギーは、ベルヌーイの定理を開水路に当てはめたもの。
| 物理の表現 | 水理学の表現 | ベルヌーイの定理 | ||
| 運動のエネルギー | 1/2×（質量）×（速度）２ | 1/2×（ρ・ａ・ｖ）×（υ）２ | １／２×（１／ｇ）×（ｖ）２ | 速度水頭 |
| 位置のエネルギー | （質量）×ｇ×（高さ） | （ρ・ａ・ｖ）×ｇ×ｚ | ｚ | 位置水頭 |
| 圧力のエネルギー | （圧力）×（距離） | （ｐ・ａ）×（ｖ） | P／ｗ | 圧力水頭 |
| 合計 | 一定 | 一定 | 一定 ρ・ａ・ｖ・ｇ＝W から左式を整理 |
|
２ 比エネルギーと限界水深
（１） 比エネルギーと水深の関係
比エネルギーを長方形断面について表すと次の式になる。
（５-５-２）
この式を、流量Ｑを一定、又は、比エネルギーＥを一定としてグラフに表すと、次のようになる。
 |
この二つのグラフから、流量Ｑが一定であっても、水深が変化すればいろいろな比エネルギーをもつ流れがあることがわかる。また、一定の比エネルギーを与えたとき、二つの水深Ｈ１とＨ２が存在することがわかる。
Ｅ－Ｈ曲線で、比エネルギーが最小（Ｅｍｉｎ）のときの水深を限界水深という。
（２） 限界水深、限界流速を求める。
限界水深を求めるには、限界水深が比エネルギーを最小とする水深であることから
のときの水深を求めれば良い。
長方形断面の場合、これを解くと、下の表で示すように、
（５-５-３）
となる。
また、
、
から、
これを整理して、
これから、
となり、 これは、限界水深のときの流れの速さ、限界流速
（５-５-４）
を示している。
 |
|
|
||
|
 |
|
 |
|
|
|
チェック 限界水深 Ｈｃ は、  で与えられることを確かめる。限界水深は、図５-５-４でわかるように、比エネルギー Ｅ＝一定の条件のもとで、流量 Ｑ を最大とする水深となる。 式（５-５-２）を Ｈ で微分（合成関数の微分）すると、  これを整理すると、  となるが、限界水深は、 Ｑ を最大にする水深なので、 、 したがって、 限界水深を求める場合の一般解は、  （５-５-５）の解となる。 |
|
|
|
 |
|
 |
|
|
|
|||
限界水深の解を求めるプロプラム用計算式整理表
| 水路断面 | 限界水深の計算式 |
| 長方形断面 |     |
| 台形断面 | ここでは、式（５-５-５）から求めてみる。  式（５-５-５）から、  ここで、 だから、 したがって、これを式（５-５-５）に代入すると、  となる。。 これを Ｈｃ について整理すると  となる。 この場合、両辺に変数を含んでいるので、逐次近似法等の数値解法により解をもとめる。 |
| 円形断面 | これも、式（５-５-５）から求めてみる。  ここで、 また、       したがって  を満足する Ｈ が解となる。 ここで、   に着目してみると、 だから すなわち、水面幅となる。 このことは、 において  （水面幅）として、これを満足する Ｈ も限界水深となることを示している。これにより、次の手順で解を求める。 まず、仮の解となる水深を与える。 この仮の水深により、一次解を求める。 ※１       を１次解とし、Ｈ’⇒Ｈ に置き換えて、 となるまで※１から始まる計算（θ、Ｒ、Ｈ’）を繰り返す。 |
３ フルード数
長波の伝播速度は、
で与えられるが、この長波の伝播速度と流速の比を フルード数 Ｆｒ という。
（５-５-６）
ここで、Ｄ：水理水深（ｍ） Ｄ＝Ａ／Ｔ
Ａ：通水断面積（ｍ２）
Ｔ：水面幅（ｍ）
水深が、限界水深となった場合のフルード数は、
となる。
このことから、常流、射流、限界流を、限界水深及び限界流速、フルード数によって判別すると、次のようになる。
| 水深 | 流速 | フルード数 | |
| 常流 |  |
 |
 |
| 射流 |  |
 |
 |
| 限界流 |  |
 |
 |
４ 限界水深を求める
課題１ 長方形（矩形）断面水路の限界水深、限界流速を求める。
計算の手順
手順１ 計算に必要な、水路断面形状、流量のデーターを整理する。
水路幅、流量を求める。
手順２ 限界水深を、式（５-５-３）から求める。
手順３ 限界流速を、式（５-５-４）から求める。
計算
課題２ 台形断面水路の限界水深、限界流速を求める。
計算の手順
手順１ 計算に必要な、水路断面形状、流量のデーターを整理する。
水路幅、水路法の勾配、流量を求める。
手順２ 次の式から、逐次近似法で求めてみる。
逐次近似法の例題
水路の底幅 Ｂ＝２.０ｍ 法勾配 ｍ＝０.５ 流量 Ｑ＝８．５ｍ3/ｓ
のとき
Ｈｃ≡1.2と仮定して右辺を計算すると。
第１近似解 Ｈｃ1＝1.103 を得る。
これをもう一度代入し、第２近似解 Ｈｃ２＝1.113 を得る。
同様な手順を繰り返し、第３近似解 Ｈｃ３＝1.112 第４近似解 Ｈｃ４＝1.112 となり
Ｈｃ＝1.112 に収束する。
したがって、Ｈｃ＝1.112 を答えとする。
計算
課題３ 円形断面水路の限界水深、限界流速を求める。
計算の手順
手順１ 計算に必要な、水路断面形状、流量のデーターを整理する。
手順２ 次の式から、逐次近似法で求めてみる。
仮の限界水深として、Ｈｃ１≡Ｒ（任意の値）を与える。
①
から
②
③
④ 
として となるまで ① から ④ までを繰り返し計算する。
計算
