● (FUROKU.45) 衛星MIRの光度等級の補足 (1997年 12月11日)
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　衛星FO-29とMIRの等級について　　　　　　　　(by JE9PEL/1 脇田)
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　衛星の明るさに関してレポートをします。
　ここで言う明るさとは、太陽->衛星->観測者という反射のこととします。
　(厳密には、波長の分布強度による放射エネルギーのことらしいです。)

　恒星の明るさの単位として等級が使われていますが、これは６等級の星
　(６等星)の100倍の明るさの星が１等星となります。今、等級ｍ1の恒星
　の明るさをＬaとし、等級ｍ2の恒星の明るさをＬbとおきます。この時、
　Ｌa／Ｌb＝10^((2/5)*(ｍ2−ｍ1)) という関係が成り立ちます。この式
　の両辺の常用対数を考えると、log(Ｌa／Ｌb)＝(2/5)*(ｍ2−ｍ1) とな
　ります。ここで、Ｌ＝(Ｌa／Ｌb)、Ｍ＝(ｍ2−ｍ1) とおくと、次の式
　のように見やすくなります。 (Ｍは等級差、Ｌは明るさの比)

　　　　 Ｍ＝(5/2)*logＬ ..... (1)

　例えば Ｍ＝1   とすると、Ｌ＝10^(2/5)＝100^(1/5)   ＝ 2.5倍
　　　　 Ｍ＝2   とすると、Ｌ＝(10^(2/5))^2＝(2.5)^2 ＝ 6.3倍
　　　　 Ｍ＝2.5 とすると、Ｌ＝10^((2/5)*(5/2))＝10^1＝10.0倍

　一般に、ｍ等級の星の明るさをＬm、(ｍ＋ｎ)等級の星の明るさをＬm+n
　で表すと、Ｌm+n＝Ｌm*(ｋ^n) となることが知られています。(ｋ:定数)
　今 ｍ＝1、ｎ＝5　とすると、この式から Ｌ6＝Ｌ1*(ｋ^5) となります。
　ここで、Ｌ1＝100*Ｌ6 から ｋ^5＝1/100 となり、ｋ＝(1/100)^(1/5)
　よって、ｋ＝1/(2.5) が得られます。つまり、１等級増せば星の明るさ
　は約 1/(2.5) に減るということ、言い換えれば次のようになります。

　　　　 １等級減れば、星の明るさは約2.5倍に明るくなる ..... (2)

　例えば １等星のｋ倍[1/(2.5)倍]は２等星、１等星のｋ^(-1)[2.5倍]は
　０等星、１等星のｋ^(-2)[6.3倍]は -１等星、です。


　さて、次の４つのことをここで仮定します。

　　　　・明るさは距離の２乗に反比例する。
　　　　・スピン安定型静止軌道衛星は、13〜15等級で見える。
　　　　・静止衛星(S)のTCA時の SlantRange は、40000km
　　　　　FO-29 (F)  のTCA時の SlantRange は、 1400km
　　　　　MIR (R)    のTCA時の SlantRange は、  800km
　　　　・実効反射面積の違いは無視する。

　例えば、観測者を(O)で表し、OSを観測者と静止衛星との距離を表すと
　すると、Ｌ＝(OS^2)/(OF^2)＝160000/196＝816 となります。 上記の
　(1)式に代入すると、Ｍ＝(5/2)*log816＝2.5*2.9＝7.3 となります。
　つまり、衛星FO-29は、(13〜15) −7.3＝(5.7〜7.7)等級で見えること
　になります。

　　　　 衛星FO-29は、5.7〜7.7等級で見える ..... (3)

　MIRの反射率を約90％と仮定すると、明るさに関しては45倍ということ
　になります。　方程式 (2.51)^ｙ＝45 の両辺の常用対数を考えて、
　ｙ＝log45/log2.51＝1.6532/0.3997＝4.1等級となります。

　つまり、衛星MIRに関しては Ｌ＝(OS^2)/(OR^2)＝160000/64＝2500 と
　なり、上記(1)式に代入して Ｍ＝(5/2)*log2500＝2.5*3.4＝8.5 から、
　衛星MIRは、(13〜15) −8.5−4.1＝(0.4〜2.4)等級となります。

　　　　 衛星MIRは、0.4〜2.4等級で見える ..... (4)


　先日、「日没直後に衛星MIRを目視できた時に 最初は火星と同じくらい
　の大きさと明るさを持っていて、TCA 時には木星くらいの明るさに輝度
　を上げながらなめらかに上昇していく」という説明をしました。各惑星
　の等級を次に載せますので、上記(3)と(4)の結果を比較してみて下さい。

　　　　 　　　   平均    極大
　　　　 水星　           -2.4
　　　　 金星　           -4.7
　　　　 火星　   +1.6    -3.0
　　　　 木星　   -1.4    -2.8
　　　　 土星　   +0.9    -0.5
　　　　 天王星           +5.3
　　　　 海王星           +7.8
　　　　 冥王星          +13.6


　　　　《参考文献》・天文学通論　鈴木敬信　地人書館
　　　　　　　　　　・高等学校教科書　地学　啓林館
　　　　　　　　　　・なぜどうして事典(5年) 学研
　　　　　　　　　　・天文年鑑　1998　　　　誠文堂新光社
　　　　　　　　　　・理科年表　1998　　　　丸善

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