数理パズル

-Update- 11.22：突然ですが, 大々的に整理しました. 他から引用したパズルなどの出典があやふやになってしまったから, というのが大きな理由, もうちょっとスッキリと少数精鋭にしたい, というのが小さな理由です. とりあえずオリジナル問題と古典的な問題だけ残しました. ご了承ください.

00

左右の腕の長さが異なる天秤と、500グラムの分銅、そして大量の塩があります。この天秤を用いて500グラムの塩を量りとるにはどうすればよいでしょうか？

01

今度はちゃんと腕の長さの等しい天秤です。分銅は一つもありませんが、81枚のコインがあります。81枚のコインの中には１枚だけ少しだけ重い「偽コイン」が混ざっています。重さの違いはほんのわずかなので、天秤に掛ければわかりますが、手で持っただけではわかりません。また、天秤の皿には何枚でもコインがおけます。 さて、最も少なく天秤を用いて、しかも間違いなく偽コインを見つけだすには、何回天秤を用いなければいけないでしょうか？

02

正しい天秤と、大量の分銅があり、何グラムでも量ることができます。１から４の番号のついた４つの箱があり、その中には大量のコインが入っています。見た目はどの箱のコインも同じで、手で持ってもわからないのですが、箱ごとに１グラムから４グラムまで少しずつ重さが違います。違う箱のコインは必ず違う重さで、同じ箱のコインは必ず同じ重さです。 さて、それぞれの箱のメダル１個の重さが何グラムかを求めるには最低何回天秤を用いなければいけないでしょうか？

03

数字と＋−×÷とカッコだけを用いて、４つの数字からある数字を作ります。例えば、「２」を４つ使えば「(2+2)*2+2」で「10」が作れます。 「１」と「９」を２つずつ使って、「10」を作って下さい。

04

さらに、ルート（平方根記号。例えば「３を一つ使って立方根記号にする」のはアリ）、指数表示、対数記号logも認めます。 　１）「２」を４つ使って「７」を作って下さい。 　２）２以上の自然数ａを４つ使って、「７」を作って下さい。

05

ある旅人が正直村へ向かって旅をしていたところ、分かれ道に出ました。道は２方向に分かれており、一方は住民がみんな絶対に嘘をつかない正直村、もう一方は住民がみんな間違いなく嘘をつく嘘つき村へと続いています。 分かれ道の付近には２人の村人がいました。１人は正直村から、もう１人はうそつき村から来た住民だということはわかっていますが、どちらがどちらかはわかりません。 どちらか１人に１回だけ質問をして正直村への正しい道を聞き出すには、どうすればよいでしょうか？ただし、質問は「はい」「いいえ」で答えられるものに限ります。

06

その旅人、今度は全く別のＸ村に向かって旅をしていましたが、また分かれ道に出ました。道は２方向に分かれており、一方はＸ村、もう一方はＹ村に続いています。 またまた、その付近には正直村の住人とうそつき村の住人とが１人ずついましたが、どちらがどちらかはわかりません。しかし、その２人はどちらがＸ村への道かを知っています。 さて、どちらか１人に１回だけ質問をしてＸ村への正しい道を聞き出すには、どうすればよいでしょうか？ただし、質問は「はい」「いいえ」で答えられるものに限ります。

07

次の数列はそれぞれある規則にしたがって並んでいます。■の中には何が入るでしょうか？理由もそえて答えて下さい。 　１）１，１，２，３，５，８，１３，■，３４，・・・ 　２）３，１，４，１，５，９，２，■，５，・・・ 　３）０，１，１，３，１，３，１，３，５，■，５・・・ 　４）２，３，１１，１３，■，３１，１０１，・・・

08

２つの「単語を変換する機械」イとロがあります。それぞれの機械は独自の方法で単語を変換します。"APPLE"と"COMPUTER"を変換させた結果、次のようになりました。 Ａ）"APPLE"をまず「イ」で変換し、変換後の単語を「ロ」で変換すると"FKQOB"になった。「イ」「ロ」の順序を変えても同じ結果だった。 Ｂ）"COMPUTER"をまず「ロ」で変換し、変換後の単語を「イ」で変換すると"SDUTQLPB"になった。また、「イ」で変換してから「ロ」で変換すると"QFSVONND"になった。 ある単語を「イ」で２回、「ロ」で１回変換したところ"JQQRPGEYO"になりました。ちなみに、変換の順序はどう変えても結果は同じでした。さて、変換前の単語は何だったのでしょうか？

09

ある会議には何人かの出席者がありました。そのうちのある一人の男性が、隣の女性に向かって言いました。「この会議には同性の人間しか出席していないことを数学的帰納法を使って証明できる。」その証明方法は次の通りです。 ＜証明＞ 　　出席者の人数をｎ人とする 　　ｎ＝１のときは明らかに同性である 　　ｎ−１より小さい人数のとき出席者全員が同性であると仮定する（帰納法の仮定） 　　ｎ人の中からある１人を選ぶと残るｎ−１人は仮定より同性・・・１ 　　ｎ人の中から先と別の１人を選ぶと同様に残る人は全て同性・・・２ 　　１、２よりｎ人全て同性である（証明終） しかし、それを聞いたのは女性ですから、明らかにおかしいのです。どこが間違っているのでしょうか？

10

２３チームが参加するサッカーリーグがあります。このリーグ戦は各チームが他の全てのチームと１回ずつ、計２２試合をするルールになっています。どのチームも試合をしていない時点で、少なくとも２チーム、消化試合数が同じチームが存在することを証明して下さい。

11

任意の３桁の整数から、連続する数桁を適当に抜き出して３の倍数にすることができます。例えば、「４７８」はそれ自体３の倍数ではありませんが、「７８」を抜き出せば、これは３の倍数です。（３桁の数が３の倍数の場合は「３桁全てを抜き出す」と考えます。） １）これを証明して下さい。 ２）同様に、任意の５桁の数から、適当に連続する数桁を抜き出して５の倍数にすることはできるでしょうか？できる場合は証明を、できない場合は反例を挙げて下さい。 ３）任意の１９桁の整数から、適当に連続する数桁を抜き出して１９の倍数にすることができることを証明して下さい。

12

２つの薬品ｘとｙがあります。ｘとｙを混ぜると反応して、全て薬品ｘになります。また、ｘを加熱するとｙに、ｙを加熱するとｘに変化します。（以下で「操作」とは薬品を取り分けたり混合したり加熱したりすることを指します。） 　１）今、実験で薬品ｙが必要になりました。ｘを使うと大変なことになるので、間違いなくｙが欲しいのです。手元にある十分な量の薬品はｘかｙかどちらかの１種類なのは間違いないのですが、どちらなのかわかりません。この１種類の薬品を操作して間違いなくｙを作るにはどうすればよいでしょうか？ 　２）ある装置があります。この装置は、ａ、ｂ２つの薬品投入口に薬品ｘ、ｙを注ぐと中で自動的にある一定の操作をして、できた薬品を出す、というものなのですが、ａ、ｂに同じ薬品を入れるとｙ、違う薬品を入れるとｘが出てくる、という働きをします。さて、この装置はａとｂから入ってきた薬品に対し、どういう操作をしているのでしょうか？ （２のオマケ：暇な方は、できるだけ「混合」「加熱」の回数が少ない場合を考えてみて下さい。）

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２ ９ ４ ７ ５ ３ ６ １ ８ 　これは、魔方陣と呼ばれるもので、タテ、ヨコ、ナナメどの列の３数を足しても等しく１５になります。では、タテ、ヨコ、ナナメどの列の３数を足しても１６になるような魔方陣を作って下さい。

14

絶対に正しいことしか言わず、絶対に嘘をつかないことで有名なある国民の言語には「アラ」と「ヨット」という二つの単語があり、これらは次のような意味があります。 　●「ヨット・〜」は「〜・〜は正しい」という意味 　●「アラヨット・〜」は「〜・〜は間違っている」という意味 「ヨットナニ」と言えば「ナニナニは正しい」と言っていることになり、「アラヨットナニ」と言えば「ナニナニは間違っている」と言っていることになるわけです。 では、この国の人が絶対に言わない言葉を見つけて下さい。

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絵のような３つの袋があります。 ３つのうち１つにはミカン２個が、１つにはレモン２個が、１つにはミカン１個レモン１個、が入っているのですが、どの袋も書かれている事と内容物は一致していません。どれか一袋だけ貰えることになっているのですが、ヒントとして、いずれか一つの袋から一つの果物だけを取り出してみることができます。間違いなく「ミカン２個」を手に入れるにはどうすればよいでしょうか？

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太郎君は愛犬ポチを連れてまっすぐな道を家に向かって歩いていました。家まであと２キロという地点で、急にポチが家に向かって走り出しました。ポチは家に辿り着くとすぐにまた太郎君の方に向かって走り、太郎君に出会うとまた家の方に向かう、と太郎君が家に着くまで繰り返しました。その間ずっと太郎君は時速２キロ、ポチは時速１０キロのスピードでした。ポチは太郎君と別れてから、のべ何キロ走ったことになるでしょうか？

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正三角形ＡＢＣがあります。三角形ＡＢＤ、三角形ＡＣＤ、三角形ＢＣＤ、全ての面積が三角形ＡＢＣの面積と等しくなるような点Ｄはいくつあるでしょうか？（HINT:３つではありません）

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１〜５の数字が書かれた５枚のカードと、そのカードを書き換える機械Ａ，Ｂがあります。 機械Ａにカードを入れると、そのカードに書かれた数字を書き換えた（書き換えていないこともある）カードを返します。さらにこの機械Ａについて、 　Ａ１：同じ数字を入れると、出てくる結果は常に同じである ということが解っています。 機械Ｂは機械Ａを２つ繋いだものです（つまり、Ｂにカードを入れるとＡを２回通した結果を返す）。この機械Ｂについては、 　Ｂ１：違う数字を入れると、出てくる結果は常に違う 　Ｂ２：入れた数字と出てくる数字は必ず違う ということが解っています。 この時、機械Ａによる書き換えのパターンは何種類あるでしょうか？

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封筒が３枚とコインが４枚あります。封筒Ａには１枚、封筒Ｂには２枚、封筒Ｃには３枚のコインを入れなければいけません。また、コインは４枚すべて、いずれかの封筒に入れなければいけません。さて、どうすればいいでしょうか？

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壁に数本のピンがささっており、ピンの間にはゴム紐が張ってあります。全てのゴム紐は１本のピンと１本のピンの間に張ってあります。また、１本のピンに複数のゴム紐が張ってあることもありますが、同じ２つのピンの間に複数のゴム紐が張ってあることはありません。 ここで、２本のピンの組で、その間にゴム紐が張られていないところは全てにゴム紐を張り、その間にゴム紐が張られていたところのゴム紐は全て取り除きました。すると、張り替える前と後でゴム紐の本数は全く変化しませんでした。 この時、ピンの本数を４で割った余りは０または１であることを証明して下さい。

21

ある喫茶店の６人掛けのテーブルに６人が座っています。様子を見たところ、６人全員が互いのことを見知っているわけではなさそうです。それを見たあるウェイターが同僚に次のように言いました。 「あの６人からうまく３人を選べば、その３人は、お互いに知り合っているか、全くお互いのことを知らないかのどちらかだろう。もしも、はずしてたらお前に１万円やるよ。その代わり、当たってたら俺に缶ジュースおごるってのはどうだ？」 同僚は万が一に賭けたつもりで本当に調べに行きました。結局この時は、そのうちの３人が互い初対面であったことを知り、１２０円を払うことになったのですが、さて、この賭けはどちらが有利だったのでしょうか？

22

２人で行う次のようなゲームを考えます。 　１：３つの山にそれぞれ３枚、４枚、５枚のコインを置く。 　２：１回ずつ交代で山からコインを取り合い、最後の１枚を取った方が負け。 　３：１回で取れるコインの数は１つ以上で自由だが、１つの山から取らなければならない（２つの山にまたがってコインを取ってはいけない）。 例えば、「Ａから２枚取る」「Ｃから５枚取る」などは可能ですが、「Ｂから２枚、Ｃから１枚、計３枚取る」はできません。 このゲーム、先攻後攻どちらが有利でしょうか？

23

ＡとＢの２種類の文字から成る文字列を考え、この文字列を次のルールにしたがって変形します。 　１：「ＡＡＢ」という部分を「Ａ」に置き換える 　２：「ＢＡＢ」という部分を「Ｂ」に置き換える 　３：「ＡＡＡ」という部分を「ＡＡ」に置き換える 　４：「ＢＢＢ」という部分を「ＢＢ」に置き換える ただし、これらの規則は、好きな順番で好きな回数だけ使えるものとします。例えば「ＡＡＡＢＢＢＡＡＢＢ」という文字列は、 「ＡＡＡＢＢＢＡＡＢＢ」→「ＡＡＢＢＢＡＢ」→「ＡＢＢ」 と変形することが出来ます。 先頭が「ＢＢ」で始まる文字列は必ず、「ＢＢ」「ＢＢＡ」「ＢＢＡＡ」のいずれかに変形できることを証明してください。

24

次の■に＋、−、＝のいずれかを入れて等式を完成させてください。ただし、各式で３つの記号はそれぞれ一回以上使わなければいけません。 　１）３■２■１■７■１ 　２）５■２■３■１■２

25

？に１〜８の数を入れてタテヨコ全ての等式を完成させてください。ただし、各数は１度までしか使えません。

26

次の■に入る数は何でしょうか？１→６→■→８→４→２→（先頭の１に戻る）

27 出典: H.E.Dudeney "Modern Puzzles" (1926)

図のようにマッチ棒を並べます。１本のマッチ棒を動かして、１を表すようにしてください。ただし、動かす１本のマッチ棒以外に触れてはいけませんし、分数を表す横棒のマッチを動かしてはいけません。

28

赤、青、黄、緑の４人が「赤青」「黄緑」の２チームに別れて次のようなゲームをします。 　１：赤からはじめて、青、黄、緑、赤、青‥‥と、順番に数字を言っていく 　２：数字は１からはじめて、１００まで順番に言っていかなければならない 　３：一人が一回の番で言う数字は一つから三つまで（いくつ言うかは、言う人の自由。言わないのはだめ） 　４：「１００」を言った人のいるチームが負け さて、「赤青」チーム、「黄緑」チーム、どちらが有利でしょうか？ また、チーム分け、数字を言う順番はそのままで「青」から始めた場合はどうでしょうか？

29

ある島には、６４人の島民が住んでいます。この島には正直人種と嘘つき人種が存在し、島民は必ずそのどちらか一方の人種です。正直人種は常に正しいことしか言わず、嘘つき人種は常に間違ったことしか言いません。 さて、この島にやって来た探険家が、この島に住む正直人種の一人にいろいろと聞いていたところ、その正直人種島民いわく、 　「この島の住民からどの二人を選んでも、必ず嘘つき人種が含まれています」 とのことでした。さて、この島に住む正直人種は最大で何名、最小で何名と考えられるでしょうか？

30

また、ある島のお話ですが、これはかなり昔のお話。 この島には妙な風習があり、男は嘘しか言いませんでした（女は嘘も言えば本当のことも言う）。 さて、この島にやって来たある探険家が、この島に住むある男女の小さな双子に出会いました。片方が帽子をかぶっている以外は風貌が全く同じで、どちらが男の子でどちらが女の子なのかが解りません。解っているのは、片方が男の子でもう一方が女の子であることと、二人の名前が「パオ」と「ピオ」であることだけでした。その探検家が記した古文書によると、探検家は二人と次のようなやりとりをしました。 　探検家「（帽子の子に向かって）君の名はパオかい？」 　帽子の子「うん」 　探検家「（もう一方の子に向かって）君の名はパオかい？」 　もう一方の子「●●」 最後の部分が虫食いで解らないのですが、「はい」か「いいえ」が入ることは間違いありません。この後の記述によると、この探検家はこのやりとりによってどちらがパオであるかを知った、とあります。 さて、どちらがパオなのでしょうか？

31 (NEW!) 出典: フォミーン "数学のひろば 1"

先生がいくつかの図形が描かれた紙を二人の生徒に見せながら言いました. 「円はいくつありますか？」 一人の生徒は「七つ」と答え, もう一人の生徒は「五つ」と答えました. 先生はどちらの生徒にも「正解です」と言いました. どういうことでしょう？

このページは中澤巧爾／NAKAZAWA Kojiによって書かれています。 全ての責任は制作者にありますが、だからといってどうかするワケじゃありません。 ご意見、ご要望、アラ探し、揚げ足取り、賞賛の言葉、季節の挨拶、など作者に伝えたいことがありましたらメールまたはこちらからお気軽にどうぞ。