＃３ マンデルブロー集合  2000.11.23（初版）

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　マンデルブロー集合とは、次のような複素数についての漸化式（点列）


漸化式

が、n → ∞ で発散しない（このことを有界といいます）ような、パラメータλの集合
です。λは複素数ですので、これを次のように表す（iは虚数単位）と


λ

この集合は、横軸をａ（実数軸）、縦軸をｂ（虚数軸）にとった平面内の図形としてあ
らわされます。次の図の黒い部分がそうです。


マンデルブロー集合

この図形は実軸（ａ軸）について対象（上下対象）です。つまり、ａ軸は左側のへこん
だ部分と右側の針の部分を結んだ線です。
　この奇妙な球根を詳しく見るまえに、複素点列について意味を検討しましょう。点列
の初めの方は


漸化式の展開

となります。各ｚは複素数なので、


z = x i y

と表すことにします。

　λが実数の場合（つまり b = 0）は、ｚの値はすべて実数値（つまり ｙ = 0）とな
ります。これを横軸をλ（つまりａ）にとり縦軸をｘにとって、この点列の挙動をプロ
ットしましょう。漸化式を解くアルゴリズムは単純で、次の擬似コードで表現できます。

void mandel_plot(double a, double b)
{
    double x = 0.0, y = 0.0, x1, y1;
    for(int n=0; n < NMAX; n++){
        x1 = x * x - y * y -a;
        y1= 2.0 * x * y - b;
        if( x1*x1 + y1*y1 > 4.0 ) return; // 発散
        if( n > 500 ){
            位置(a,x1)に点を打つ;
        }
        x=x1; y=y1;   // 点列の更新
    }
}

関数 mandel_plot() は、λの実数部ａと虚数部ｂを引数にとり、点列を求める上限値
 NMAX までの点列を計算します。そして、main() 関数から実軸ａに沿ってａの値を変
えながらこの関数を呼び出します。

　λの実軸に対する点列の挙動をプロットしたのが次の図です。


分岐図

計算では、点列を１０００点まで計算して後半の５００点をプロットしています。図の
左側から始まる一本の線は、１点に収束していることを意味します（これを吸引不動点
といいます）。その後、この線は２つに分岐します。これは２点間を交互に移り変わる
ことを意味します（周期２）。それから４つに分岐（周期４）します。分岐は、２のべ
きの周期に分岐して、やがて複雑に入り込んだ挙動をします。点が密になっているとこ
ろはカオス帯とよばれます。その中で、白く抜けた帯状の部分は「窓」とよばれます。
また、左端と右端の途切れた領域は、発散（±∞）を意味します。
　つまり、マンデルブロー集合には、（１）１つの点に収束する。（２）有限個の点の
間を行き来する（周期振動）。（３）有限の領域内を不規則に動き回る（カオス）。の
３つの挙動を示します。
　またこの集合は、|λ| ≦ 2 、つまり半径２の円内にあることが分かっています。こ
のことから、繰り返し計算で、ｚが半径２の円を超えるとその点列は発散すると判定で
きます。この判定条件を使って上のコードでは

        if( x1*x1+y1*y1 > 4.0 ) return; // 発散

と、捨てています。

　さて、この分岐の挙動とマンデルブロー集合の領域との対応を示したのが次の図です。


分岐図とマンデルブロー集合

実軸（ａ軸）に沿って、３つの黒い球根の大きい順にそれぞれ不動点、周期２、周期４
となって、針の部分がカオス帯となっているのが分かります。また詳しく見ると、針の
部分に団子のような小さな球があり、この領域は周期３の「窓」に対応していることが
分かります。カオスの中にも更に構造があることが伺えます。

分岐図の実行ファイルとソースファイルのダウンロードはこちらです、

マンデルブロー集合 (1)分岐図
実行ファイルとソース・ファイル
Windows 95/ 98上で動作します。		 　　ダウンロード
　　mandel01.lzh (73KB)		 

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