1.6 浮動小数点数 double型の内部表現
浮動小数点数は、符号、仮数部と指数部からなります。コンピュータが使用する形式
は、
±a × ２＾b ±a × ８＾b ±a × １６＾b
というように表されます。aを仮数部(mantissa)、bを指数部(exponent)といいます。
仮数部は、実数の精度を、指数部は大きさを表しています。実数を指数で表現すること
で、非常に大きな数も小さな数も一定の正確さで同程度に扱うことができます。数値が
指数部の上限値を越えると、オーバーフローとなり、下限値よりも小さいとアンダーフ
ローが生じ、エラーとなります。
IEEE（アイ・トリプル・イー）標準形式（注）によるdouble型の内部表現は
±１．[仮数部] ×２＾[指数部]
と、仮数部の整数値を１とした小数点以下の部分で表して、下図
のようになっています。全体で８バイト（６４ビット）のうち、仮数部の符号ビットが
１ビット、指数部が１１ビットおよび仮数部に５２ビット割り当てられます。また指数
部は1〜2046の値をとるようになっていて、この値から指数バイアス（正規化値）1023
を引くことにより本当の値が -1022〜1023の範囲をとるように定められています。指数
部の値0と2047は例外処理のために予約されています。
（注）IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）の定める規格。
では、浮動小数点型のデータのビットパターンをみるプログラムを考えます。ビット演
算子は整数型や文字型（文字型は実際には整数型と同じもの）に対してしか使用できませ
んので、シフト演算子を直接浮動小数点型の変数に使うことができません。
そこで、共用体（union）を使うことにします。次のような共用体を考えます。
union {
double d; // ８バイト
unsigned char c[8]; // １バイト×８
} data;
共用体の変数名 data は double型と unsigned char型の２つのタイプの要素を持ち
ます。構造体と違って共用体ではデータの記憶場所は１つです。double型とunsigned
char型の要素が１つの領域を共有しています。そのためデータの読み書きが、双方のデ
ータ型で行うことができます。
つまり、double型の数値を読み込んで、それをunsigned char型のデータとして参
照します。共用体では、データの領域割り当てはもっとも大きい要素のデータサイズとな
ります。double型は８バイトの記憶領域を持ちますので、１バイトの記憶領域を持つ
unsigned char型の配列要素８個で割り当てます（同じサイズにする必要があります）。
そうすることで、浮動小数点数を１バイト単位に参照することができます。
共用体の中にある要素にアクセスするには，レコード選択子（.）を使います。つまり、
data.d
に実数値を代入しておいて
data.c[i] ( i = 7 〜 0 ）
をビット演算子を使って、ビットパターンを読みます。それが、次の関数 dec2bin() です。
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// １０進→２進へ変換してビットパターンを出力する関数
void dec2bin(double x, int bit[])
{
// 共用体
union {
double d; // ８バイト（６４ビット）の領域
unsigned char c[8];
} data;
data.d = x; //double型で代入
int i,j, k = 0; // k は配列 bit[] のインデックス
for(i=7; i >= 0; i--) { // 文字型で１バイトごとに取り出す
unsigned char ch = data.c[i]; // 要素ｉを取り出す
// １バイト単位で２進数に変換
for(j = 7; j >= 0; j--){ // 要素ｉ中の ｊ＋１番目のビットを調べる
if( (ch >> j) & 1 ) // この部分は整数のときと基本的に同じ
bit[k] = 1;
else
bit[k] = 0;
// ビットを出力する
cout << bit[k];
k++; //配列のインデクスを１つ進める
}
cout << " "; // １バイトごとに区切りを入れる
}
cout << endl; // 最後に改行
}
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この関数の引数リストは、浮動小数点型 ｘ と整数型の配列 bitです。ｘは入力の実数
値です。ｘのビットパターンを配列 bit に納めて返します。C/C++では配列を関数に渡
すときは、ポインタが渡されることに注意しましょう。ポインタが指す配列要素の実体
は関数を呼び出す側（ main() 関数 ）にありますから、関数内で値を書き換えることが
できます。
さらに、配列に読み出した浮動小数点数のビットパターンから、仮数部と指数部を１０
進数に戻してみます。それを計算するのが、下のプログラムの中の関数 bin2dec() です。
計算の中身は、まず配列要素 bit[0] は符号ビットを表し、正が０で負のとき１なの
で１−２＊bit[0]で±１の符号が求まります。
指数部（ exponent ）は要素bit[1]〜bit[11]に納められていますから、
bit[11]×2＾0＋bit[10]×2＾1＋bit[9]×2＾2＋.....＋bit[2]×2＾9＋bit[1]×2＾10.
この値から指数バイアス１０２３を引いたものが指数部です。
また、仮数部は小数点以下（ fraction ）が要素bit[12]〜bit[63]までに納められて
います。
bit[12]×2＾-1＋bit[13]×2＾-2＋....＋bit[62]×2＾-51＋bit[63]×2＾-52.
これに１を加えたものが仮数部となります。指数を計算するには、関数 pow() を使いま
す。2^i は pow(2, i)です。