Twists of ellitic curves and Iwasawa invariants of Selmer groups^{∗}

千田雅隆 (東北大学理学研究科数学専攻)

2003/7/14

1 Introduction

有理数体上の楕円曲線

E : y^{2} = x^{3} + ax + b (a, b ∈ ℤ)

に対し D ∈ ℤ (D ≠ 0) による E の quadratic twist を

E_{D} : Dy^{2} = x^{3} + ax + b

により定義する. Kohnen-Ono[4] 及び James-Ono[2] は半整数ウェイトの保型形式の理論を用いて次の定理を示した.

定理 1.1 (James-Ono, [2]) E を modular な楕円曲線とする. このとき十分大きな素数 p に対し

#\{D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free, #Sel_{E_{D},p}(ℚ) = 1\} ≫ \frac{\sqrt{X}}{log X} .

ここでSel_{E,p}(ℚ) は E の p-Selmer 群.

本稿ではこの 2 つの論文で使われた方法を応用して得られた楕円曲線の twist での Selmer 群の岩澤不変量に関する結果を紹介する.

∗東北大学整数論セミナー (2003 年 7 月 14 日) 配布資料

定理 1.2 E を y^{2} = x^{3} − x により定まる楕円曲線とする. p を 5 以上の奇素数とし, E は p で good ordinary な reduction を持つとする. (この場合, これは p ≡ 1 mod 4 であることと同じである) このとき

#\{D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free, λ_{E_{D},p}^{alg} = λ_{E_{D},p}^{anal} = μ_{E_{D},p}^{alg} = μ_{E_{D},p}^{anal} = 0\} ≫ \frac{\sqrt{X}}{log X} .

ここでλ_{E,p}^{alg}とμ_{E,p}^{alg}は E の p に関する代数的岩澤不変量を表し, λ_{E,p}^{anal}とμ_{E,p}^{anal}は解析的岩澤不変量を表す. 岩澤不変量については次の節で説明する.

2 Iwasawa invariants of elliptic curves

E を有理数体上の modular な楕円曲線とし K/ℚ を代数拡大とするときSel_{E}(K) により E の K 上の Selmer 群を表すことにする. Sel_{E}(K) は H^{1}(Gal(\overline{K}/K), E(\overline{ℚ})_{tors}) の部分群であり完全列

0 → E(K) ⊗ ℚ/ℤ → Sel_{E}(K) → � (E/K) → 0

が成り立つ. ここで � (E/ℚ) は E の Shafarevich-Tate 群. いま素数 p をひとつ固定し K = ℚ_{∞}とおく. (ℚ_{∞}は ℚ の ℤ_{p}拡大, つまりΓ = Gal(ℚ_{∞}/ℚ) ≅ ℤ_{p}) このとき Sel_{E}(ℚ_{∞}) はΓ−加群となり, その p-primary subgroup Sel_{E}(ℚ_{∞})_{p^{∞}} はΛ-加群となる. (ここでΛ = ℤ_{p}[[Γ]] とした) いま

X_{E}(ℚ_{∞}) = Hom(Sel_{E}(ℚ_{∞})_{p^{∞}}, ℚ_{p}/ℤ_{p})

とおくとこれは有限生成Λ−加群となり X_{E}(ℚ_{∞}) をSel_{E}(ℚ_{∞})_{p^{∞}}の Pontrjagin dual とよぶ. 加藤和也により p が奇素数のとき X_{E}(ℚ_{∞}) は torsion Λ-加群になることが知られている. このことから構造定理より

X_{E}(ℚ_{∞}) ∼ (⨁_{i=1}^{n} Λ/(f_{i}(T)^{a_{i}})) ⊕ (⨁_{j=1}^{m} Λ/(p^{μ_{j}}))

と表すことができる. ここで f_{i}(T) は distinguished 多項式, a_{i}, μ_{j}は正の整数であり, ∼は pseudo isomorphism を表す.

このとき代数的岩澤不変量を

λ_{E,p}^{alg} = ∑_{i=1}^{n} a_{i} deg(f_{i}(T)),
μ_{E,p}^{alg} = ∑_{j=1}^{m} μ_{j}

により定める. さらに代数的特性多項式を

f_{E,p}^{alg}(T) = p^{μ_{E,p}^{alg}} ∏_{i=1}^{n} f_{i}(T)^{a_{i}}

と定める.

つぎに解析的岩澤不変量について説明する. まず ℚ 上の楕円曲線 E の L 関数を

L(E, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a(n)}{n^{s}}

とするときα_{p}, β_{p}をα_{p}β_{p} = p, α_{p} + β_{p} = a(p) により定め, α_{p}はこれらの根のうち p 進単数となる方とする.

定理 2.1 次の性質を満たす F_{E,p} ∈ ℚ_{p}[[T]] が唯一つ存在する:

任意のconductor が p^{m}(m > 1) のnon-trivial な指標ρ ∈ { \atop Gal(ℚ_{∞}/ℚ)} に対し

F_{E,p}(ζ − 1) = τ(ρ^{−1})β_{p}^{m}L(E/ℚ, ρ, 1)/Ω_{E}

ここでζは 1 の原始 p^{m−1}乗根, τはGauss 和, L(E/ℚ, ρ, 1) は通常の E の L 関数を指標 ρでtwist したものでありΩ_{E}は E の実周期である.

いま, p-進 Weierstrass の準備定理より F_{E,p}は

F_{E,p}(T) = p^{μ}u(T)f(T)

(ここで u(T) は可逆なベキ級数であり, f(T) は distinguished 多項式) と書くことができる.

このとき解析的岩澤不変量を

λ_{E,p}^{anal} = deg(f(T)),
μ_{E,p}^{anal} = μ

と定める. また解析的特性多項式を

f_{E,p}^{anal}(T) = p^{μ_{E,p}^{anal}}f(T)

と定める.

E が p で good reduction を持つとき

F_{E,p}(0) = (1 − α_{p}^{−1})^{2}L(E/ℚ, 1)/Ω_{E}

となることに注意する. このとき岩澤主予想は

予想 2.2 (Iwasawa Main Conjecture)
f_{E,p}^{alg}(T) = f_{E,p}^{anal}(T)

となる.

これに対して次の結果が知られている.

定理 2.3 (K. Kato)

f_{E,p}^{alg}(T) | f_{E,p}^{anal}(T) in ℚ_{p}[T]

定理 2.4 (K. Rubin) E が虚数乗法を持つとき

f_{E,p}^{alg}(T) = f_{E,p}^{anal}(T)

とくに F_{E,p}(0) = (1 − α_{p}^{−1})^{2}L(E/ℚ, 1)/Ω_{E}が p-進単数ならμ_{E,p}^{alg} = λ_{E,p}^{alg} = 0 である.

3 Proof of Theorem

ℚ 上の楕円曲線 E の L 関数を

L(E, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a(n)}{n^{s}}

とするとき E_{D}の L 関数は

L(E_{D}, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a(n)χ_{D}(n)}{n^{s}}

となる. ここでχ_{D}(n) = (\frac{D}{n})は Kronecker symbol. とくに楕円曲線 E が

E : y^{2} = x^{3} − x

で与えられる場合は Tunnel により

g(z) = ∑_{a,b,c∈ℤ}(−1)^{a+b}q^{(4a+1)^{2}+16b^{2}+2c^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} b(n)q^{n}
= q + 2q^{3} + q^{9} − 2q^{11} − 4q^{17} − 2q^{19} − 3q^{25} + ⋯

とおいたとき square-free な正の奇数 d に対し

L(E_{d}, 1) = \frac{b(d)^{2}Ω_{E}}{4\sqrt{d}}

となることが示されている. さらに簡単な計算により good ordinary な素数に対し 1 − α_{p}^{−1}および 1 + α_{p}^{−1}は p 進単数であることが分かる. よって主定理を言うためには次を示せば十分である. 命題 3.1 p を素数とし, p ≡ 1 mod 4 とする. このとき

#\{D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free, χ_{D}(p) ≠ 0, b(D) ≢ 0 mod p\} ≫ \frac{\sqrt{X}}{log X} .

これを示すためにいくつか準備をする. 定義 3.2

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a(n)q^{n}

を有理整数係数のベキ級数とする. このとき素数 p に対し,

ord_{p}(f) = \begin{cases}+∞ & if a(n) ≡ 0 mod p for all n, \\ min\{ n | a(n) ≢ 0 mod p\} & otherwise \end{cases}

と定める. このとき次の定理が成り立つ. 定理 3.3 (Sturm, [8])

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a(n)q^{n} ∈ M_{k}(N, χ)

をweight k, Level N の指標χを持つ保型形式とし, そのFourier 係数はすべて有理整数であると仮定する. このとき

ord_{p}(f) > \frac{k}{12}[Γ_{0}(1) : Γ_{0}(N)]

ならばord_{p}(f) = +∞ である.

以上の準備の下で先の命題を証明する. 命題の証明

g(z) = ∑_{a,b,c∈ℤ}(−1)^{a+b}q^{(4a+1)^{2}+16b^{2}+2c^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} b(n)q^{n} ∈ S_{3/2}(128, 1)

であり,

b_{0}(n) = \begin{cases}b(n) & if (n, 128p) = 1 , \\ 0 & otherwise \end{cases}

とおけば

g_{0}(z) = ∑_{n=1}^{∞} b_{0}(n)q^{n} ∈ S_{3/2}(128p^{2}, 1)

である.

志村 [7] により素数 l に対し

(U_{l}g_{0})(z) = ∑_{n=1}^{∞} u_{l}(n)q^{n} = ∑_{n=1}^{∞} b_{0}(ln)q^{n} ∈ S_{3/2}(128p^{2}l, (\frac{4l}{·}))
(V_{l}g_{0})(z) = ∑_{n=1}^{∞} v_{l}(n)q^{n} = ∑_{n=1}^{∞} b_{0}(n)q^{ln} ∈ S_{3/2}(128p^{2}l, (\frac{4l}{·}))

となる. 一方, 古典的な Gauss の結果より l ≡ 3 mod 4 ならば a(l) = 0 なので (r, t) = 1, 4 | t, r ≡ 3 mod 4 となる正の整数 r, t に対し

#T (r, t) := #\{l : 素数 | l ≤ X, a(l) = 0, l ≡ r mod t\} ≫ \frac{X}{log X}

であり l ∈ T (r, t) と任意の正の整数 n に対し Hecke 作用素の計算により

b(l^{2}n) = − (\frac{−n}{l}) b(n) − lb(n/l^{2})

となる. ここで b(n/l^{2}) は n が l^{2}で割れないときは 0 であるとする. (このことは g(z) が Hecke 作用素 T (l^{2}) の eigenform であり, その固有値が a(l) に等しいことから従う) いまκ = [Γ_{0}(1) : Γ_{0}(128p^{2})]/8 + 1 とおき, r, t を次を満たすように選ぶ.

1. 128p^{2}|t, (r, t) = 1.

2. l を l ≡ r mod t となる素数とすれば, 任意の (n, 128p^{2}) = 1, 1 ≤ n ≤ κとなる整

数 n に対し(\frac{−n}{l}) = −1.

3. l を l ≡ r mod t となる素数とすれば, 1 + l ≢ 0 mod p. いま十分大きな l ∈ T (r, t) をとれば全ての 1 ≤ n ≤ κに対し

u_{l}(ln) = b_{0}(l^{2}n) = − (\frac{−n}{l}) b_{0}(n) − lb_{0}(n/l^{2}) = b_{0}(n) = v_{l}(ln)

また,

v_{l}(l^{3}) = b_{0}(l^{2}) = − (\frac{−1}{l}) b_{0}(1) − lb_{0}(1/l^{2}) = b_{0}(1) = 1

であり

u_{l}(l^{3}) = b_{0}(l^{4}) = − (\frac{−l^{3}}{l} ) b_{0}(l^{2}) − lb_{0}(l^{2}/l^{2}) = −lb_{0}(1) = −l

なので r と t の取り方より

v_{l}(l^{3}) − u_{l}(l^{3}) = 1 + l ≢ 0 mod p

ゆえに

ord_{p}(U_{l}g_{0} − V_{l}g_{0}) < +∞

よって Sturm の定理より 1 ≤ ∃n_{l} ≤ [Γ_{0}(1) : Γ_{0}(128p^{2}l)]/8 = κ(l + 1) s.t. (n_{l}, l) = 1,

b_{0}(n_{l}l) = u_{l}(n_{l}) ≢ v_{l}(n_{l}) ≡ 0 mod p

となるのでこのような D = n_{l}l に対して

ord_{p}(b_{0}(D)) = 0

これが十分大きな各 l ∈ T (r, t) に対していえるので結局

#\{D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free, χ_{D}(p) ≠ 0, b(D) ≢ 0 mod p\} ≫ \frac{\sqrt{X}}{log X} である. (証明終わり) E(ℚ_{∞}) は有限生成 abel 群となることが知られているが一般に

λ_{E,p}^{alg} ≥ rank E(ℚ_{∞}) ≥ rank E(ℚ)

となるので次のことが分かる. 系 3.4 主定理と同様の仮定の下で

#\{D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free, rank E_{D}(ℚ_{∞}) = 0\} ≫ \frac{\sqrt{X}}{log X}

参考文献

[1] R. Greenberg, Iwasawa theory for elliptic curves, Lect. Notes in Math. 1716 (1999), 59–144.

[2] K. James and K. Ono, Selmer groups of quadratic twists of elliptic curves, Math. Ann. 314 (1999), 1–17.

[3] K. Kato, p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular curves, preprint.

[4] W. Kohnen and K. Ono, Indivisibility of class numbers of imaginary quadratic fields and orders of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with complex multiplication, Invent. Math. 135 (1999), 387–398.

[5] V. Kolyvagin, Finiteness of E(ℚ) and � _{E/ℚ} for a subclass of Weil curves, Izv. Akad. Nauk. , USSR, ser. Matem. 52 (1988), 522–540.

[6] K. Rubin, The ”Main conjecture” of Iwasawa theory for imaginary quadratic feilds, Invent. Math. 103 (1991), 25–68.

[7] G. Shimura, On modular forms of half-integral weight, Ann. Math. 197 (1973), 440–481.

[8] J. Sturm, On the congruence of modular forms, Springer Lect. Notes Math. 1240 (1984), 275–280.

[9] J. Tunnell, A classical Diophantine problem and modular forms of weight \frac{3}{2}, Invent. Math. 72 (1983), 323–334.