類体論の概要

千田雅隆 (東北大学理学部数学科)

2002/2/21

1 定義、記号

はじめに類体論を述べるため, いくつか定義をしよう. k を代数体とする.

定義 1.1 (1) 𝔭_{i} を i = 1, ..., r_{1} のとき実無限素点として, i = r_{1} + 1, ..., r_{1} + r_{2} のとき複素無限素点とする. このとき k の元 α に対し

α ≡ 1 mod 𝔭_{i} ⇔ \begin{cases}α^{(i)} > 0 & for 1 ≤ i ≤ r_{1} \\ α^{(i)} ≠ 0 & for r_{1} < i ≤ r_{1} + r_{2} \end{cases}

（ここで α^{(i)} は α の 𝔭_{i} での共役とする）また O_{k} を k の整数環, 𝔪 を k の 0 でない整イデアルとするとき α ≡ 1 mod 𝔪

⇔ α = \frac{β}{γ} s.t. β, γ ∈ O_{k}, (β, 𝔪) = (γ, 𝔪) = 1 , β ≡ γ mod 𝔪 と定める.

(2) 𝔪 を K の 0 でない整イデアルとする．このとき

S(𝔪) = {(α)| α ≡ 1 mod 𝔪, α ≡ 1 mod 𝔭_{i} for i = 1, ..., r_{1} + r_{2}}

と定める. S(𝔪) を 𝔪 を法とするシュトラ−ルとよぶ. （ここで (α) は α の生成するイデアルとする）

(3) A(𝔪) を 𝔪 と素なイデアル全体からなる群とする. このとき, A(𝔪) ⊇ H(𝔪) ⊇ S(𝔪) となる A(𝔪) の部分群 H(𝔪) を 𝔪 を法とするイデアル群または合同群とよび, 剰余群 A(𝔪)/H(𝔪) を H(𝔪) に対するイデアル類群とよぶ.

注 1.2 A(𝔪)/S(𝔪) は有限群になる. ゆえに A(𝔪)/H(𝔪) も有限群である.

定義 1.3 𝔪 を法とするイデアル群 H(𝔪) と 𝔫 を法とするイデアル群 H(𝔫) に対し

H(𝔪) ∼ H(𝔫) ⇔ H(𝔪) ∩ A(𝔪𝔫) = H(𝔫) ∩ A(𝔪𝔫)

と定めるとこれは同値関係になる. 𝔪 と同値なイデアルの最大公約イデアルを 𝔣 と書いて H(𝔪) の導手とよぶ.

定義 1.4 (Weber) 代数体 k の n 次 Galois 拡大体 K に対し 𝔪 を割らない k の一次の素イデアル 𝔭 が拡大 K/k において

𝔭 = 𝔓_{1}...𝔓_{n}（完全分解）⇔ 𝔭 ∈ H(𝔪)

を満たすとき K は k の 𝔪 を法とするイデアル群 H(𝔪) に対する類体であるという.

この定義は次の定義と同値である.

定義 1.5 (高木) 代数体k のGalois拡大体K に対しI_{𝔪,K} を𝔪と素なK のイデアルのなす群とする. I_{𝔪,K} のノルム写像による像 N_{K/k}(I_{𝔪,K}) は I_{𝔪} の部分群である. いま k のイデアル群 H(𝔪) に対しある k の Galois 拡大体 K が存在して H(𝔪) = S(𝔪)N_{K/k}(I_{𝔪,K}) かつ (I_{𝔪} : H(𝔪)) = [K : k] を満たすとき K は k の 𝔪 を法とするイデアル群 H(𝔪) に対する ( 高木の意味での ) 類体であるという.

2 基本定理

定理 2.1 (高木貞治) (1) ( 類体の存在と一意性 ) k の任意のイデアル群 H(𝔪) を与えるとき,H(𝔪) に対する類体 K/k が唯一つ存在する.

(2) ( 同型定理 ) H(𝔪) に対する類体 K/k は Abel 拡大でその Galois 群は Gal(K/k) ≅ A(𝔪)/H(𝔪) となる.

(3) ( 導手定理 ) H(𝔪) に対する類体 K/k の相対判別式 𝔡 に含まれる素イデアルは（すなわち K/k で分岐する素イデアルは） H(𝔪) の導手 𝔣 に含まれる素イデアルのみである.

(4) ( 分解定理 ) H(𝔪) の導手 𝔣 と素な素イデアル 𝔭 は H(𝔪) に対する類体 K/k において, 𝔭^{f} ∈ H(𝔪) となる最小の f に対し, n = fg としたとき

𝔭 = 𝔓_{1}...𝔓_{g}, N_{K/k}(𝔓_{i}) = 𝔭^{f} for i = 1, ..., g

と分解される.

定理 2.2 k のイデアル群 H(𝔪_{1}), H(𝔪_{2}) に対する類体を K_{1}, K_{2} とする. このとき

(1) ( 順序定理 ) K_{1} ⊇ K_{2} ⇔ H(𝔪_{1}) ⊆ H(𝔪_{2})

(2) ( 結合定理 ) 合成体 K_{1}K_{2} は H(𝔪_{1}) ∩ H(𝔪_{2}) に対する類体である.

(3) ( 推進定理 ) k のイデアル群 H に対する類体を K とする. L を k を含む任意の代数体とするとき KL/L はイデアル群 H_{L} = {𝔞| N_{L/k}(𝔞) ∈ H} に対する類体である.

定理 2.3 ( 終結定理 ) N_{𝔪} = S(𝔪)N_{K/k}(I_{𝔪,K}) とおく. このとき K/k が Galois 拡大でないならば (A_{𝔪} : N_{𝔪}) < [K : k] であり K/k が Galois 拡大ならば K ⊇ L ⊇ k となる最大の Abel 拡大体 L/k に対し (A_{𝔪} : N_{𝔪}) = [L : k] が成り立つ.

定理 2.4 (類体論の基本定理；高木貞治, １９２０年) 代数体 k 上の任意の Abel 拡大体 K はあるイデアル 𝔪 を法とするイデアル群 H(𝔪) に対する類体になる. さらにここで 𝔪 は K/k で分岐する素イデアルのみを含むイデアルである.

系 2.5 (Kronecker-Weber) k = ℚ のとき k のイデアルは単項イデアルのみである. いま正の整数 m に対し K = ℚ(ζ_{m}) は m を法とするシュトラ−ル S(𝔪) に対する類体である. よって ℚ の任意の Abel 拡大体はシュトラ−ル S(𝔪) に対する類体 K = ℚ(ζ_{m}) に含まれる.

3 Artin の相互法則

K/k を Galois 拡大とし, G = Gal(K/k) をその Galois 群とする. いま K の素イデアル 𝔓 に対し,

G(𝔓) = {σ ∈ G | 𝔓^{σ} = 𝔓}

とおくとこれは G の部分群になる. これを 𝔓 の分解群とよぶ. Galois 理論によって G の部分群は K/k の中間体に対応するので, G(𝔓) に対応する中間体を 𝔓 の分解体とよぶ. いま、 𝔓 を k に制限すると k の素イデアル 𝔭 になる. O_{k}, O_{K} をそれぞれ,k, K の整数環とするとき, O_{k}/𝔭 及び O_{K}/𝔓 は有限体になり,L = O_{K}/𝔓 は M = O_{k}/𝔭 の巡回拡大体になる. Gal(L/M) は巡回群であり q = N(𝔭) とおけば Gal(L/M) は q 乗 Frobenius 写像 (= π) によって生成される. 自然な写像

ψ : G(𝔓) ∋ σ ↦ σ̃ ∈ Gal(L/M)

は全射準同型になるから ψ(σ) = π となる σ が存在する. この σ を 𝔓 の Frobenius 置換とよび, σ = [\frac{K/k}{𝔓}] ∈ G とかく. いま, K の素イデアル 𝔓 が K/k で分岐していないとき, 𝔓 に対し Frobenius 置換はただひとつ定まる. さて, σ ∈ G に対し,

[\frac{K/k}{𝔓^{σ}} ] = σ [\frac{K/k}{𝔓} ] σ^{−1}

が成り立つ.

定義 3.1 G が Abel 群のとき k の素イデアル 𝔭 に対し 𝔭 ⊆ 𝔓 となる K の素イデアル 𝔓 の取り方に依らないで一意に σ ∈ G が定まることがわかる. これを σ = (\frac{K/k}{𝔭}) と書いて k の素イデアル 𝔭 の Artin 記号とよぶ. n 次 Abel 拡大 K/k をイデアル群 H(𝔪) に対する類体とする. （ここで K/k で分岐する素イデアル 𝔭 はすべて 𝔪 の素因子に含むとする）このとき 𝔪 と素なイデアル

𝔞 = ∏_{i} 𝔭_{i}^{e_{i}} ∈ A_{𝔪}

に対し Artin 記号を拡張して,

(\frac{K/k}{𝔞} ) = ∏_{i} (\frac{K/k}{𝔭_{i}} )^{e_{i}} ∈ G

と定義する. このとき

(\frac{K/k}{𝔞𝔟} ) = (\frac{K/k}{𝔞} ) (\frac{K/k}{𝔟} )

が成り立つ.

定理 3.2 (Artin の相互法則) Abel 拡大 K/k をイデアル群 H(𝔪) に対する類体とする. このとき準同型

Φ : A(𝔪) ∋ 𝔞 ↦ (\frac{K/k}{𝔞} ) ∈ Gal(K/k)

を考えると,

(1) Ker Φ = H(𝔪)

(2) Φ は A(𝔪)/H(𝔪) ≅ Gal(K/k) を与える.

この定理によって類体論の同型は Artin 写像で与えられることが分かる.

4 イデールによる類体論

S(k) を k の素点全体の集合とする. k_{𝔭} を素点 𝔭 による k の完備化とし U_{𝔭} を 𝔭 が有限素点のとき k_{𝔭} の単数群, 𝔭 が無限素点のとき k_{𝔭}^{×} をあらわすことにする. k のイデールを

J_{k} := {(x_{𝔭})_{𝔭} ∈ ∏_{𝔭∈S(k)}k_{𝔭}^{×} | x_{𝔭} ∈ U_{𝔭} for almost all 𝔭 ∈ S(k)}

と定義する. S を S(k) の有限部分集合として O_{𝔭} を k_{𝔭} (𝔭 ∈ S) の単位元の開近傍としたとき

U = ∏_{𝔭∈S(k)\S} U_{𝔭} × ∏_{𝔭∈S}O_{𝔭}

と書けるような集合 U すべてを J_{k} の単位元の開近傍基として定義すれば J_{k} はこの位相によって局所コンパクト群になる. k^{×} は J_{k} に対角的に埋め込まれ, k^{×} の J_{k} での像は離散的になる. この像を主イデールとよぶ.

定義 4.1 剰余群 J_{k}/k^{×} を C_{k} とかいてイデール類群とよぶ.

K/k を有限次拡大とする. 𝔓 を K の素点 𝔭 を k の素点とすると完備ノルム写像

N_{𝔓/𝔭} : K_{𝔓} → k_{𝔭}

が定まる. x = (x_{𝔓})_{𝔓∈S_{K}} ∈ J_{K} に対し

N_{K/k}(x) = (y_{𝔭})_{𝔭∈S_{k}} ∈ J_{k}, y_{𝔭} = ∏_{𝔓|𝔭}N_{𝔓/𝔭}(x_{𝔓})

と定義する. いま x が k の主イデールの元なら N_{K/k}(x) は K の主イデールの元になるので N_{K/k} : C_{K} → C_{k} が定義される.

定理 4.2 ( 同型定理 ) K/k を有限次 Abel 拡大とする. このとき

J_{k}/k^{×}N_{K/k}(J_{K}) = C_{k}/N_{K/k}(C_{K}) ≅ Gal(K/k)

さらにここで

素点 𝔭 ∈ S_{k} が K/k で不分岐⇔ U_{𝔭} ⊆ k^{×}N_{K/k}(J_{K}) （ここで U_{𝔭} は u_{𝔭} ↦ (1, ..., u_{𝔭}, ..., 1) により J_{k} に埋め込まれているとする）

定理 4.3 ( 存在定理 ) C_{k} の指数有限の開部分群 H に対しある k の Abel 拡大体 K が唯一つ存在し N_{K/k}(C_{k}) = H となる. この K を H に対する類体とよぶ.

定理 4.4 ( 順序定理 ) K_{1}, K_{2} を k の有限次 Abel 拡大体とする. このとき

K_{1} ⊆ K_{2} ⇔ k^{×}N_{K_{1}/k}(J_{K_{1}}) ⊇ k^{×}N_{K_{2}/k}(J_{K_{2}})

が成り立つ.

定理 4.5 ( 推進定理 ) C_{k} の開部分群 H の類体を K とする. L を k を含む任意の代数体とするとき KL/L は

H′ = {A ∈ C_{L}| N_{L/k}(A) ∈ H}

の類体である.

定理 4.6 ( 結合定理 ) C_{k} の開部分群 H_{1},H_{2} に対する類体を K_{1}, K_{2} とする. このとき合成体 K_{1}K_{2} は H_{1} ∩ H_{2} に対する類体である定理 4.7 ( 終結定理 ) C_{k} の開部分群 H の類体を K とする. ある有限次拡大 L/k に対し, N_{L/k}(C_{L}) ⊂ H ならば K ⊂ L であり,

N_{L/k}(C_{L}) = H ⇔ K/k は L/k の最大アーベル部分拡大

定理 4.8 ( 無限次元類体論 ) いま D_{k} を C_{k} の単位元の連結成分とする.

(1) K/k を Abel 拡大とする. このとき D_{k} ⊂ H ⊂ C_{k} となる C_{k} の閉部分群 H が存在し C_{k}/H ≅ Gal(K/k) を満たす. ここで 𝔭 ∈ S_{k} が不分岐⇔ k^{×}U_{𝔭}/k^{×} ⊂ H

(2) D_{k} ⊂ H ⊂ C_{k} となる C_{k} の閉部分群 H に対し H に対応する Abel 拡大体 K が一意に存在する.

5 局所類体論

k を局所体とする.

定義 5.1 H を k^{×} の有限指数の閉部分群とする. ある Abel 拡大 K/k が存在して

H = N_{K/k}(K^{×}), (K^{×} : H) = [K : k]

が成り立つとき K/k は H の類体であるという.

注 5.2 k^{×} の部分群 H が有限指数なら H が閉であることと開であることは同値である.

定理 5.3 (1) ( 類体の存在と一意性 ) k^{×} の任意の有限指数の閉部分群 H を与えるとき, H に対する類体 K/k が唯一つ存在する.

(2) (同型定理) H に対する類体K/k はAbel拡大でそのGalois群はGal(K/k) ≅ k^{×}/ H となる.

k^{×} の部分群 H_{1}, H_{2} に対する類体を K_{1}, K_{2} とする. このとき

定理 5.4 (1) ( 順序定理 ) K_{1} ⊇ K_{2} ⇔ H_{1} ⊆ H_{2}

(2) ( 結合定理 ) 合成体 K_{1}K_{2} は H_{1} ∩ H_{2} に対する類体である.

(3) ( 推進定理 ) k^{×} の部分群 H に対する類体を K とする. L を k の任意の有限次拡大とするとき KL/L はイデアル群 H_{L} = N_{L/k}^{−1}(H) に対する類体である.

定理 5.5 ( 終結定理 ) k^{×} の指数有限閉部分群 H の類体を K とする. ある有限次拡大 L/k に対し, N_{L/k}(L^{×}) ⊂ H ならば K ⊂ L であり,

N_{L/k}(L^{×}) = H ⇔ K/k は L/k の最大アーベル部分拡大以上の定理はつぎの定理の写像の性質を調べることにより導かれる.

定理 5.6 k を局所体とし k_{ab} を k の最大 Abel 拡大体とする.

(1) 連続な準同型 ρ_{k} : k^{×}→ Gal(k_{ab}/k) で次の (i), (ii) を満たすものが唯一つ存在する. この写像を局所体 k の Artin 写像とよぶ.

(i) K/k を有限次 Abel 拡大とすると ρ_{k} は商群の同型 k^{×}/N_{K/k}(K^{×}) ≅ Gal(K/k) を引き起こす. (ii) k_{ur} を k の最大不分岐拡大体とすると

k^{×} → Gal(k_{ab}/k)

ν↓ f ↓

ℤ → Gal(k_{ur}/k)

は可換図式. ただしここで ν は k の正規離散付値, f は制限写像, 上の段の写像は ρ_{k}, 下の段の写像は 1 ↦ ϕ （ϕ は Gal(k_{ur}/k) の Frobenius 置換）によって定まる写像である.

(2) U を Gal(k_{ab}/k) の開部分群とすると U ↦ ρ_{k}^{−1}(U) は Gal(k_{ab}/k) の開部分群全体の集合から k^{×} の指数有限の開部分群全体への全単射をあたえる.

(3) k の有限次 Abel 拡大体と k^{×} の指数有限の開部分群は 1 対 1 に対応する.

局所体の Artin 写像をつかってイデールによる大域類体論の相互法則における Artin 写像についてのべ, 前章の定理のいくつかをその写像を使ってあらためて述べておく.

定理 5.7 k を大域体とし k_{ab} を k の最大 Abel 拡大体とする.

(1) 連続な準同型 ρ_{k} : C_{k}→ Gal(k_{ab}/k) で, k の全ての素点 v に対して, 図式

k_{v}^{×} → Gal(k_{v ab}/k_{v})
ι↓ g ↓
C_{k} → Gal(k_{ab}/k)

を可換とするものが唯一つ存在する. ただしここで k_{v} は k の v による完備化, ι は自然な単射 k_{v}^{×}→ J_{k} により引き起こされる写像, g は制限写像, 上の段の写像は局所体の Artin 写像 ρ_{k_{v}}, 下の段の写像は ρ_{k} である. この ρ_{k} をイデールによる類体論における Artin 写像とよぶ.

(2) k の有限次拡大体 K に対し ρ_{k} は商群の同型 C_{k}/N_{K/k}(C_{K}) ≅ Gal(K/k) を引き起こす.

(3) U を Gal(k_{ab}/k) の開部分群とすると U ↦ ρ_{k}^{−1}(U) は Gal(k_{ab}/k) の開部分群全体の集合から C_{k} の指数有限の開部分群全体への全単射をあたえる.

(4) k の有限次 Abel 拡大体と C_{k} の指数有限の開部分群は 1 対 1 に対応する.

参考文献

[1] 河田敬義, 数論, 岩波基礎数学選書, 1992.

[2] 足立恒雄, 類体論講義, 日本評論社, 1998.

[3] J.Cassels and A.Fröhlich, Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967 [4] 黒川信重, 栗原将人, 斎藤毅, 数論 3, 岩波講座現代数学の基礎, 1998.

[5] 岩澤健吉, 局所類体論, 岩波書店, 1980.

[6] 高木貞治, 代数的整数論, 岩波書店, 1982(第二版).

[7] L.C.Washington, Introduction to cyclotomic fields, Springer Verlag, 1982