保型L関数のquadratic twistの族の特殊値に関する最近の結果について^{∗}

千田雅隆 (東北大学大学院理学研究科数学専攻)

平成 16 年 2 月 9 日

1 楕円曲線の twist と rank の分布

E を Weierstrass 方程式

y^{2} = x^{3} + ax + b (a, b ∈ ℤ)

で与えられる有理数体上の楕円曲線とする. よく知られているように代数体 K に対し

E(K) = {(X, Y, Z) ∈ ℙ^{2}(K) | Y^{2}Z = X^{3} + aXZ^{2} + bZ^{3}}

とおくと E(K) には有限生成 abel 群の構造が入り,

E(K) ≅ ℤ^{r} ⊕ (有限群)

と書ける. いま, E をひとつ決めたとき

E_{D} : y^{2} = x^{3} + aD^{2}x + bD^{3} (D ∈ ℤ\{0})

という family(quadratic twist の family) を考え, rank E_{D}(K) の分布を調べたい. (特に K = ℚ の場合) さらには E_{D}に関するいろいろな群 (Selmer 群など) の振舞いを調べたい. Goldfeld はこの問題を考えていく中で (たぶん数値計算によって) 次の予想にいたった.

∗奈良女子大学でのセミナー (2003 年 10 月 22 日) の記録. 本来は翌日の小研究集会で話す予定だったものです. 奈良に呼んでくださり, このノートを書くようすすめてくださった上田勝先生に感謝いたします.

予想 1.1 (Goldfeld [9], average rank conjecture)

S(X) = {D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free}

とおくとき

lim_{X→∞} \frac{∑_{D∈S(X)} rank E_{D}(ℚ)}{#S(X)} = \frac{1}{2}.

これに対しては

定理 1.2 (Heath-Brown [11], 2003) 一般Riemann予想及びBirchとSwinnerton-Dyer 予想の仮定の下で

lim sup_{X→∞} \frac{∑_{D∈S(X)} rank E_{D}(ℚ)}{#S(X)} ≦ \frac{3}{2}.

が知られている. より精密な予想としては

予想 1.3 (density conjecture) δ = 0, 1 に対し

lim_{X→∞} \frac{#\{D ∈ S(X) | rank E_{D}(ℚ) = δ\}}{#S(X)} = \frac{1}{2}.

この予想は rank が 0 のものと 1 のものが密度としては半分ずつでてきて, それ以外は密度としては 0 になってしまうということを意味している. density conjecture からは average rank conjecture が従うことが容易にわかる.

つぎに楕円曲線の L 関数との関係をみる. 楕円曲線の L 関数 L(E, s) は

a_{p}(E) = p + 1 − #{(X, Y, Z) ∈ ℙ^{2}(𝔽_{p}) | Y^{2}Z = X^{3} + aXZ^{2} + bZ^{3}}

とおいたとき

L(E, s) = ∏_{p∤N} \frac{1}{1 − a_{p}(E)p^{−s} + p^{1−2s}} × ∏_{p|N} \frac{1}{1 − a_{p}(E)p^{−s}}

と定義される. (ここで N は E の conductor. 本当は L 関数の定義は少し修正が必要) さらには Wiles [30] 等の結果により

定理 1.4 weight 2 で level N のnormalized Hecke eigen newform f_{E}(z) が存在して

L(E, s) = L(f_{E}, s).

が知られているので L(E, s) は ℂ 上の整関数となる. L 関数と E の rank との関係は次の様に予想されている.

予想 1.5 (Birch and Swinnerton-Dyer 予想)

ord_{s=1}L(E, s) = rank E(ℚ).

ここでord_{s=1}L(E, s) は s = 1 での零点の位数をあらわす. この予想に関しては次の結果が有名である. 定理 1.6 (Gross-Zagier, Kolyvagin,...)

L(E, 1) ≠ 0 ⇒ rank(E(ℚ)) = 0

ord_{s=1}L(E, s) = 1 ⇒ rank(E(ℚ)) = 1.

さらに楕円曲線 E の L 関数を

L(E, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a(n)}{n^{s}}

とするとき E_{D}の L 関数は

L(E_{D}, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a(n)χ_{D}(n)}{n^{s}}

となる. ここでχ_{D}(n) = (\frac{D}{n})は Kronecker symbol.

以上のことから density conjecture は次の予想を示すことに帰着される. 予想 1.7 (L 関数に対する density conjecture)δ = 0, 1 に対し

lim_{X→∞} \frac{#\{D ∈ S(X) | ord_{s=1}L(E_{D}, s) = δ\}}{#S(X)} = \frac{1}{2}.

2 保型形式の twist と L 関数の critical value

f(z) を weight 2k, level N の normalized Hecke eigen newform とする. 前の section のいいかえにより density conjecture は次の様に一般化される. 予想 2.1 (一般化された density conjecture)δ = 0, 1 に対し

lim_{X→∞} \frac{#\{D ∈ S(X) | ord_{s=k}L(f, χ_{D}, s) = δ\}}{#S(X)} = \frac{1}{2}.

この予想は L 関数の零点分布論と密接に関係していることが分かっている [14]. またこの予想の弱い version として

予想 2.2 (density conjecture の weak version) δ = 0, 1 に対し

#{D ∈ S(X) | ord_{s=k}L(f, χ_{D}, s) = δ} ≫ X.

これらの予想に対しての初めて得られた一般的な結果は次のものであろう.

定理 2.3 (K.Murty-R.Murty [18], 1990) δ = 0, 1 に対し

#{D ∈ S(X) | ord_{s=k}L(f, χ_{D}, s) = δ} = +∞.

この結果は解析数論的な手法により示された.

現在 (2003 年 11 月) での最もよい結果は次のものである.

定理 2.4 (Ono-Skinner [22], 1998)

#\{D ∈ S(X) | L(f, χ_{D}, k) ≠ 0\} ≫ \frac{X}{log X} .

この結果は Waldspurger の結果と半整数 weight の保型形式の Fourier 係数の nonvanishing を調べることにより示された. さらには楕円曲線に限れば

定理 2.5 (Perelli-Pomykala [23], 1997) 任意のϵ > 0 に対し

#{D ∈ S(X) | ord_{s=1}L(E_{D}, s) = 1} ≫ X^{1−ϵ}.

が知られている.

James, Vatsal, Kohnen らの結果により具体的に楕円曲線や保型形式を与えたときには実際に密度が正になることが知られている例もある. (例えば E = X_{0}(19))

この他にも保型 L 関数の non-vanishing に関する予想がたくさん知られている. 例えば

問題 2.6 (Iwaniec, Ono-Skinner [22]) L(f, χ_{p}, s) ≠ 0 または L(f, χ_{−p}, s) ≠ 0 となる素数 p は無限に存在するか?

問題 2.7 (Coogan, Jiménez-Urroz [5]) f_{1}(z) ∈ S_{2k_{1}}(N_{1}), f_{2}(z) ∈ S_{2k_{2}}(N_{2}) という二つのnewform に対して L(f_{1}, χ_{D}, k_{1})L(f_{2}, χ_{D}, k_{2}) ≠ 0 となる D は無限に存在するか?

さらにはこれらを一般化して

問題 2.8 f_{1}(z) ∈ S_{2k_{1}}(N_{1}), …, f_{r}(z) ∈ S_{2k_{r}}(N_{r}) という異なる r 個のnewform に対して L(f_{1}, χ_{D}, k_{1}) ⋯ L(f_{r}, χ_{D}, k_{r}) ≠ 0 となる D は無限に存在するか? または素数に限った場合はどうか?

などたくさんの問題が考えられる. また, はじめの楕円曲線の場合では K = ℚ のときの rank を考えていたが, 例えば K が二次体の場合はrank E(K) の分布がどうなるかという問題も自然に考えられる.

3 mod p での non-vanishing

以上の話では特に L 関数の non-vanishing に焦点をあててきたが実際に値が消えないとき, L(f, k) がどのような値になるかを知ることは非常に重要である. 近年の研究により L(f, s) の特殊値と f の代数的な量との関係が明らかになってきている. 特に L(f, s) の特殊値の p-part と f の代数的な量の p-part との関係は岩澤理論の研究などにより多くのことが知られるようになった. これらのことに関して, Brunier や Ono-Skinner の仕事の後に Kohnen-Ono [16] 及び James-Ono [13] は次の二つの定理を示した.

定理 3.1 (Kohnen-Ono, [16]) 代数体 k に対し k の類数を h(k) と書くことにする. このとき素数 p > 3 に対し

#\{D ∈ ℤ | 0 < D < X, D : square-free, p ∤ h(ℚ(\sqrt{−D}))\} ≫_{p} \frac{\sqrt{X}}{log X} .

定理 3.2 (James-Ono, [13]) E を modular な楕円曲線とする. このとき十分大きな素数 p に対し

#\{D ∈ ℤ | |D| < X, D : square-free, #Sel_{E_{D},p}(ℚ) = 1\} ≫ \frac{\sqrt{X}}{log X} .

ここでSel_{E,p}(ℚ) は E の p-Selmer 群.

証明は半整数ウェイトの保型形式の理論と Kolyvagin の結果による. とくに半整数ウェイトの保型形式の Fourier 係数が mod p で消えないものがたくさん存在することを示すのが本質である. この論文で使われている手法においては次の結果をうまく使うことが point である.

定理 3.3 (Sturm, [25])

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a(n)q^{n} ∈ M_{k}(N, χ)

をweight k, Level N の指標χを持つ保型形式とし, そのFourier 係数はすべて有理整数であると仮定する. 素数 p に対し,

ord_{p}(f) = \begin{cases}+∞ & if a(n) ≡ 0 mod p for all n, \\ min\{ n | a(n) ≢ 0 mod p\} & otherwise \end{cases}

と定める. このとき

ord_{p}(f) > \frac{k}{12}[Γ_{0}(1) : Γ_{0}(N)]

ならばord_{p}(f) = +∞ である.

さらにこの手法を応用して Byeon は

定理 3.4 (Byeon, [3]) λ_{p}(k) を k の円分 ℤ_{p}-拡大に関する岩澤λ-不変量とする. このとき素数 p > 3 に対し

#\{D ∈ ℤ | 0 < D < X, D : square-free, λ_{p}(ℚ(\sqrt{−D})) = 0\} ≫_{p} \frac{\sqrt{X}}{log X} .

を示した. この他にもたくさん触れておかなければならないことがあるように思われますがひとまず残りは最後にあげた参考文献にゆだねることにします.

そのうち書き足す予定です.

参考文献

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