保型形式のSelmer群について^{∗}

東北大学大学院理学研究科千田雅隆

1 楕円曲線の Selmer 群

ここでは楕円曲線の Selmer 群について復習する. (詳しくは例えば Silverman [18] などを参照のこと) E を有理数体 ℚ 上定義された楕円曲線とする. いま, m を正の整数とし E[m] を E の m 等分点のなす群とする. このとき E の Tate 加群 T_{l}(E) を

T_{l}(E) := \underleftarrow{lim}_{n} E[l^{n}]

と定義する (T_{l}(E) ≅ ℤ_{l}^{2}となる). また,

E[l^{∞}] := \underrightarrow{lim}_{n} E[l^{n}]

とおく. 以降, 体 K に対して H^{1}(K, G) = H^{1}(Gal(\overline{K}/K), G) を Galois cohomology とする. いま, K を代数体または標数が 0 の局所体とする. このとき,

0 → E[l^{n}] → E(\overline{K}) →^{l^{n}} E(\overline{K}) → 0

という完全列を考えると, これから定まるGal(\overline{K}/K)-cohomology の長完全列は

E(K) →^{l^{n}} E(K) → H^{1}(K, E[l^{n}]) → H^{1}(K, E) →^{l^{n}} H^{1}(K, E) → ⋯

となる. これより

0 → E(K)/l^{n}E(K) → H^{1}(K, E[l^{n}]) → H^{1}(K, E)_{l^{n}} → 0

が得られるがはじめの Kummer map E(K)/l^{n}E(K) → H^{1}(K, E[l^{n}]) の direct limit をとることで単射 E(K) ⊗ ℚ_{l}/ℤ_{l} → H^{1}(K, E[l^{∞}]) を得る. これにより E(K) ⊗ ℚ_{l}/ℤ_{l} は H^{1}(K, E[l^{∞}]) の部分群と見なせる. このとき E/K の l^{∞}-Selmer 群を

Sel_{l^{∞}}(E/K) := {c ∈ H^{1}(K, E[l^{∞}]) | res_{v}(c) ∈ E(K_{v}) ⊗ ℚ_{l}/ℤ_{l} for all prime v} と定義する. ここで res_{v}は素点 v での restriction map とする. また, E の Tate-Shafarevich 群を

∗このノートは室蘭数論研究集会の期間 (3 月 5,6 日) に室蘭工大の桂田英典先生と数人で行ったセミナーの記録です.

� (E/K) := ker (H^{1}(K, E(\overline{K})) → ∏_{v:prime} H^{1}(K_{v}, E))

と定義する. 次に楕円曲線とその L 関数との関係を述べる. E を有理数体上の楕円曲線とする. さらに E は minimal model で与えられているものとする (つまり Weierstrass 方程式の判別式の絶対値が最小になっているようなものとする). いま

a_{p}(E) = p + 1 − #Ẽ(𝔽_{p})

とおく. ここで#Ẽ(𝔽_{p}) は E の mod p での解の個数とする (無限遠点も含めて数える). このとき楕円曲線 E の L 関数 L(E, s) は

L(E, s) = ∏_{p∤Δ} \frac{1}{1 − a_{p}(E)p^{−s} + p^{1−2s}} × ∏_{p|Δ} \frac{1}{1 − a_{p}(E)p^{−s}}

と定義される. Wiles[21] 等の結果により現在では次のことが分かっている.

定理 1.1 E を有理数体上の楕円曲線とする. このときweight 2で level N のnormalized Hecke eigen newform f_{E}(z) = ∑_{n=1}^{∞} a(n)q^{n} が存在して

L(E, s) = L(f_{E}, s)

となる.

この定理により, 特に L(E, s) は ℂ 上の整関数となる. L 関数と E の rank との関係は次の様に予想されている.

予想 1.2 (Birch and Swinnerton-Dyer 予想)

ord_{s=1}L(E, s) = rank E(ℚ).

ここでord_{s=1}L(E, s) は s = 1 での零点の位数をあらわす.

さらに精密なことが次のように予想されている. ここでは簡単のため L(E, 1) ≠ 0 とする.

予想 1.3

\frac{L(E, 1)}{Ω_{E}} = \frac{∏_{p} c_{p} · #� (E/ℚ)}{(#E(ℚ)_{tors})^{2}}.

ここでΩ_{E}は E の実周期であり c_{p}はTamagawa fuctor. (E が p でgood reduction を持つ, すなわち p が N を割らないときは c_{p} = 1 となる)

2 保型形式の Selmer 群の定義

ここでは Dummigan [5], [6] の論文に従って保型形式の Selmer 群について簡単に紹介する. 一般の motif に対する Selmer 群等の定義は Bloch-Kato [2] による.

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz}

を weight k, level N の normalized Hecke eigen newform とする. ここでは簡単のため a_{n} ∈ ℤ とする. Deligne [3] により任意の素数 l に対し ℚ_{l}上の 2 次元のベクトル空間 V_{l} が存在して, 連続な絶対 Galois 群の 2 次元表現

ρ_{l} : Gal(\overline{ℚ}/ℚ) → Aut (V_{l})

があって p ∤ Nl となる全ての素数 p に対しρ_{l}は不分岐で tr ρ_{v}(Frob_{p}) = a(p) かつ det ρ_{l}(Frob_{p}) = p^{k−1} を満たすようなものが存在する.

さらに Scholl [17] は V_{l}はある Grothendieck motif M の l-adic realization として構成されることを示した. 以降,V_{B}をMのBetti realization, V_{dR}をMのde Rham realization とする. これらは ℚ 上の 2 次元のベクトル空間になる. V_{dR}は Hodge filtration

V_{dR} = F^{0} ⊃ F^{1} = ⋯ = F^{k−1} ⊃ F^{k} = {0}

を持つ. また, 自然な同型 V_{B} ⊗ ℚ_{l} ≅ V_{l}が存在する. いま V_{l}の中にGal(\overline{ℚ}/ℚ)-stable な ℤ_{l}-module T_{l}を取り, A_{l} = V_{l}/T_{l}と置く. さらに整数 j に対し V_{l}(j) を Tate twist とする. このとき p ≠ l ならば

H_{f}^{1}(ℚ_{p}, V_{l}(j)) := ker(H^{1}(D_{p}, V_{l}(j)) → H^{1}(I_{p}, V_{l}(j)))

とおき, p = l ならば

H_{f}^{1}(ℚ_{l}, V_{l}(j)) := ker(H^{1}(D_{l}, V_{l}(j)) → H^{1}(D_{l}, V_{l}(j)⊗_{ℚ_{l}}B_{cris}))

とおく. ここで B_{cris}は Fontaine [7] の定義した環であり, D_{l}は l での分解群, I_{l}は l での惰性群である. さらに

H_{f}^{1}(ℚ, V_{l}(j)) := {c ∈ H^{1}(ℚ, V_{l}(j)) | res_{p}(c) ∈ H_{f}^{1}(ℚ_{p}, V_{l}(j)) for all prime p}

と定める. いま, 完全列

0 → T_{l}(j) →^{ι} V_{l}(j) →^{π} A_{l}(j) → 0

を考えて

H_{f}^{1}(ℚ_{p}, A_{l}(j)) := π_{∗}H_{f}^{1}(ℚ_{p}, V_{l}(j))

とおく. このとき l^{∞}-Selmer 群を

H_{f}^{1}(ℚ, A_{l}(j)) := {c ∈ H^{1}(ℚ, A_{l}(j)) | res_{p}(c) ∈ H_{f}^{1}(ℚ_{p}, A_{l}(j)) for all prime p}

と定義する. さらに Tate-Shafarevich 群を

� (j) := ⨁_{l:prime}H_{f}^{1}(ℚ, A_{l}(j))/π_{∗}H_{f}^{1}(ℚ, V_{l}(j))

と定義する. また, 1 ≤ j ≤ k − 1 に対し global point の集合を

Γ_{ℚ}(j) := ⨁_{l:prime}H^{0}(ℚ, A_{l}(j))

とおく (これは楕円曲線の場合の rational torsion points の類似である).

3 Bloch-Kato 予想

次に

H_{f}^{1}(ℚ_{p}, T_{l}(j)) := ι_{∗}^{−1}(H_{f}^{1}(ℚ_{p}, V_{l}(j)))

とおく. p < ∞ に対し local points の集合を

Γ_{p}(j) := ⨁_{l:prime}H^{0}(ℚ_{p}, T_{l}(j))

とおき p = ∞ に対しては

Γ_{∞}(j) := (V_{B} ⊗ ℝ)^{+}

とする (+の意味は複素共役で固定される部分ということ). このとき

(V_{dR}/F^{j}) ⊗ ℝ ≅ Γ_{∞}(j)

であり, 右辺には lattice T_{B}(j)(T_{B} ⊗ ℤ_{l} ≅ T_{l}) の projection の像の covolume が 1 となるような測度が存在する. このとき

vol_{∞}(j) := (T_{dR}の像の covolume)^{−1}

と定める. j の parity が一致するときはこの値は 2πi の巾でしかずれない. このことは 1 ≤ j ≤ k − 1 に対して F^{j}が等しいことから従う.

p < ∞ のとき, Bloch-Kato の exponential map が同型

V_{dR} ⊗ ℚ_{p} ≅ H_{f}^{1}(ℚ_{p}, V_{p}(j))

を与えることが知られている. いま左辺には T_{dR} ⊗ ℤ_{p}の volume が 1 になる測度が存在する. このとき,

vol_{p}(j) := ∏_{l≠p} #H_{f}^{1}(ℚ_{p}, T_{l}(j)) × vol(H_{f}^{1}(ℚ_{p}, T_{p}(j)))

とおき,

c_{p}(j) := vol_{p}(j)/(1 − a_{p}p^{−j} + p^{k−1−2j})

と定義する. この c_{p}(j) は有限個の p を除き 1 となることが知られている. これらの量は V_{dR}の基底の取り方に依るがこれらの積 vol_{∞}(j) · ∏_{p} c_{p}(j) は V_{dR}の取り方に依ら

ない. 予想 3.1 (Bloch-Kato [2])

\frac{L(f, j)}{vol_{∞}(j)} = \frac{∏_{p} c_{p}(j) · #� (j)}{#Γ_{ℚ}(j) · #Γ_{ℚ}(k − j)}

以上のことは一般の代数体上でも同様に定式化される.

N = 1 の場合に Dummigan は次を示した. 定理 3.2 (Dummigan [5]) V_{dR}の基底をうまく選ぶことにより p > k かつ k/2 ≤ j ≤ k − 1 ならば c_{p}(j) = 1 となるようにできる.

定理 3.3 (Dummigan [5]) #Γ_{ℚ}(j) の素因子は k より小さい.

例 3.4 (Dummigan [5]) Kohnen-Zagier の方法により f = ΔE_{4}E_{6} ∈ S_{22}(Γ_{0}(1)) に対して

r_{j}(f) = ∫_{0}^{i∞} f(z)z^{j} dz
= j! · i^{j+1} · (2π)^{−j+1} · L(f, j + 1)

とおくと

\frac{r_{7}}{r_{1}} = \frac{−41}{2^{4} · 3^{2} · 5 · 19}

となる. 22 < 41 であるから, この場合#� (8) は 41 の倍数であることが期待される.

また Kohnen-Ono[12], James-Ono[10] の結果を一般化することにより次のことが証明できる. 定理 3.5 f のweight k は偶数とする. 十分大きな素数 p に対して

ord_{p} (\frac{L(f ⊗ χ_{D}, k/2)}{vol_{∞}}) = 0

となるsquare-free な整数 D が無限に存在する. ここでχ_{D}は 2 次体 ℚ(\sqrt{D}) に対応する指標とする. さらにBloch-Kato 予想を仮定の下で f のtwist の中にTate-Shafarevich 群の p-part がtrival になるものが無限に存在する.

4 岩澤理論

p は good ordinary, つまり p ∤ Na_{p}を仮定する. ℚ_{∞}/ℚ を ℚ の円分 ℤ_{p}-拡大とする (つまりΓ = Gal(ℚ_{∞}/ℚ) ≅ ℤ_{p}とする). ℚ_{∞}の部分体 ℚ_{n}をGal(ℚ_{n}/ℚ) ≅ ℤ/p^{n}ℤ となるようにとる. また, Δ = Gal(ℚ(ζ_{p}/ℚ)) とおく. このとき 1 ≤ j ≤ k − 1 を満たす整数 j をひとつ選び,

H_{f}^{1}(ℚ_{∞}, T_{p}) := \underleftarrow{lim}_{n}H_{f}^{1}(ℚ_{n}, T_{p}(j))(−j)^{Δ}

と定義する. このとき H_{f}^{1}(ℚ_{∞}, T_{p}) は j の取り方に依らない. H_{f}^{1}(ℚ_{∞}, T_{p}) はΛ-module となる (Λ = ℤ_{p}[[Γ]] ≅ ℤ_{p}[[T]]). このとき

X(ℚ_{∞}) = Hom(H_{f}^{1}(ℚ_{∞}, T_{p}), ℚ_{p}/ℤ_{p})

とおくと X(ℚ_{∞}) は有限生成 torsion Λ-module となることが知られている. このことよりΛ-module の構造定理によって

X(ℚ_{∞}) ∼ (⨁_{i=1}^{n} Λ/(f_{i}(T)^{a_{i}})) ⊕ (⨁_{j=1}^{m} Λ/(p^{μ_{j}}))

と書くことができる. ただし f_{i}は distinguished な多項式であり a_{i}, μ_{j}は正の整数とする. このとき保型形式 f のSelmer 群に関する岩澤不変量を

λ_{p}^{alg} = ∑_{i=1}^{n} a_{i} deg(f_{i}(T)),
μ_{p}^{alg} = ∑_{j=1}^{m} μ_{j}

によって定義する. さらに f のSelmer 群に関する岩澤多項式を

F_{p}^{alg}(T) = p^{μ_{p}^{alg}} ∏_{i=1}^{n} f_{i}(T)^{a_{i}}

によって定義する. f の p 進 L 関数を L_{p}(f, T) ∈ ℚ_{p}[[T]] とする (詳しくは Amice-Vélu [1] や Vishik [20]). このとき p 進版 Weierstrass の準備定理によって, L_{p}(f, T) は

L_{p}(f, T) = p^{μ}u(T)f(T)

という形に一意的に表わすことができる. ここでμは有理整数, u(T) はΛの可逆元であり g(T) は distinguished な多項式とする. このとき

λ_{p}^{anal} = deg(g(T)),
μ_{p}^{anal} = μ

によって定義する. さらに f の p 進 L 関数に関する岩澤多項式を

F_{p}^{anal}(T) = p^{μ_{p}^{anal}}f(T)

によって定める. このとき岩澤主予想は次のように述べられる.

予想 4.1 (岩澤主予想)

F_{p}^{alg}(T) = F_{p}^{anal}(T).

この予想に対して現在では Kato [11] によって

F_{p}^{alg}(T) | F_{p}^{anal}(T) in ℚ_{p}[T]

となることが知られている. これにより

λ_{p}^{alg} ≤ λ_{p}^{anal}

がわかる.

参考文献

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