[figure: 保型 L 関数の twist と ; その特殊値について ; 千田雅隆]

1

[figure]

主結果 l 個の楕円曲線 E^{1}, …, E^{l} に対し rank E_{D}^{i}(ℚ) = 0 (i = 1, …, l) となる square-free な整数 D が無限に存在するための十分条件を与えた

[figure]

E を Weierstrass 方程式 y^{2} = x^{3} + ax + b (a, b ∈ ℤ, 4a^{3} + 27b^{2} ≠ 0) で定義された曲線とするこのような曲線を楕円曲線と呼ぶ

[figure]

Mordell-Weil 群

E(ℚ) を E の有理点全体の集合, すなわち {(x, y) ∈ ℚ^{2} | y^{2} = x^{3} + ax + b} ∪ {∞}

とすると E(ℚ) には abel 群の構造が入る

[figure]

Mordell (1922) E(ℚ) は有限生成 ; E(ℚ) ≅ ℤ^{r} ⊕ (有限群)

rank E(ℚ) := r を E の rank [figure: 整数 D ≠ 0 に対して E_{D} を方程式 ; y^{2} = x^{3} + aD^{2}x + bD^{3} ; によって定まる楕円曲線とする ; E_{D} を E の D による twist と呼ぶ]

6

[figure]

問題 1 rank E_{D}(ℚ) = 0 となる square-free な整数 D は無限に存在するか？

答そのような整数 D は無限に存在する (K.Murty-R.Murty, 1990)

[figure]

問題 1 rank E_{D}(ℚ) = 0 となる square-free な整数 D は無限に存在するか？

答そのような整数 D は無限に存在する (K.Murty-R.Murty, 1990)

[figure]

定理 (Ono-Skinner,1998)

S(X) = { D | D : square-free,|D| < X}

とおくとき, ある C > 0 が存在して, 十分大きな X > 0 に対し #{D ∈ S(X) | rank E_{D}(ℚ) = 0}

≥ C \frac{X}{log X}

[figure]

問題 2 l 個の楕円曲線 E^{1}, …, E^{l} に対し rank E_{D}^{i}(ℚ) = 0 (i = 1, …, l) となる square-free な整数 D は無限に存在するか ?

[figure]

主結果このことが成り立つための十分条件を保型形式の言葉を使って与えた (Ono-Skinner の結果の一般化)

[figure]

重さ k, Level N の保型形式上半平面 Im z > 0 上の正則関数 f で

f (\frac{az + b}{cz + d}) = (cz + d)^{k}f(z)

(∀ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(ℤ) s.t.c ≡ 0 modN)

+(ある条件) を満たすもの

[figure: 楕円曲線の L 関数 ; \begin{matrix}L(E, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{E}(n)}{n^{s}} \\ := ∏_{p:素数}\frac{1}{1 − a_{E}(p)p^{−s} + ε(p)p^{1−2s}} \end{matrix} ; ただし a_{E}(p) := p − #\{E modp の解\} ; ε(p) ∈ \{0, 1\}, 有限個の p を除き ε(p) = 1]

13

[figure: A. Wiles らの仕事により ; \begin{matrix}楕円曲線 \\ E \end{matrix} ↦ \begin{matrix}重さ 2 の保型形式 \\ F_{E}(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{E}(n)e^{2πinz} \end{matrix} ; という対応があり, E の L 関数 L(E, s) は ; L(F_{E}, s) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{E}(n)}{n^{s}} に等しい]

14

[figure]

定理 (Gross-Zagier, Kolyvagin 1988) L(E, 1) ≠ 0 ⇒ rank E(ℚ) = 0

この定理より L(E_{D}, 1) ≠ 0 となる square-free な整数 D が無限に存在することを示せばよい [figure: 一方で志村らの研究により ; \begin{aligned}重さ & \frac{3}{2} & の保型形式 \\ & & g(z) \end{aligned} ↦ \begin{matrix}重さ 2 の保型形式 \\ F_{g}(z) \end{matrix} ; という対応がある (志村対応)]

16

[figure: いま i = 1, …, l に対して楕円曲線 E^{i} と ; 重さが 3/2, Level N_{i} の保型形式 ; g_{i}(z) = ∑_{n=1}^{∞} b_{i}(n)e^{2πinz} (b_{i}(n) ∈ ℤ) ; が F_{E^{i}} = F_{g_{i}} を満たしていると仮定する]

17

[figure]

定理 ∃D_{0}(> 0) : square-frees.t. b_{i}(D_{0}) : odd ⇒ L(E_{D}^{i}, 1) ≠ 0 (∀i) となる square-free な D が無限に存在. 特に rank E_{D}^{i}(ℚ) = 0 (∀i) となる square-free な D が無限に存在

[figure: さらに, ある C > 0 が存在して, ; 十分大きな X > 0 に対し ; #\{D ∈ S(X)| \begin{matrix}rank E_{D}^{i}(ℚ) = 0 \\ (i = 1, …, l) \end{matrix} \} ; ≥ C \frac{X}{log X}]

19

[figure: 例 ; E^{1} : y^{2} = x^{3} − 13392x − 1080432 ; E^{2} : y^{2} = x^{3} − 12096x − 544752]

20

[figure: 対応する保型形式の Fourier 展開は ; g_{1}(z) = q − q^{3}−q^{5} + q^{11} + 2q^{12} + ⋯; g_{2}(z) = q − 2q^{4}+q^{5} − 2q^{6} − q^{7} + ⋯; なので b_{1}(5) = −1, b_{2}(5) = 1 がわかる]

21

[figure]

よって楕円曲線 E^{1}, E^{2} に対して rank E_{D}^{1}(ℚ) = rank E_{D}^{2}(ℚ) = 0 となる D が無限に存在することがわかる