被写界深度に関する計算式

このページの概要

このページは被写界深度の求め方やその近似式、被写界深度目盛についてのメモである。これらの計算式自体は様々な資料で見つけることができるが、原理を理解するために式の導出を行ってみた。

また、撮影距離は同じだがフィルムサイズや使っているレンズの焦点距離が異なるとき、同じ被写界深度を得るために必要な絞りの計算方法について考えた。その結果、変えるべき絞りの段数は近似式を使えば、フィルムサイズとレンズ焦点距離によって決まることがわかった。例えば、APS-Cサイズフォーマットで30mmレンズを使う場合、 135フィルムの50mmレンズと同じ被写界深度を得るには、 135フィルムで50mmレンズの絞りから1絞り半ほど開ければ良い、といった見積りができる。

＃間違いを御指摘いただけると幸いです(fats[at]world.email.ne.jp)。

記号

	:	レンズ焦点距離[mm]
	:	被写体距離[mm]
	:	レンズから結像面までの距離[mm]
	:	過焦点距離[mm] (被写体距離無限遠時の近点距離)
	:	F値 (撮影時の絞り)
	:	焦点深度の二分の一[mm]
	:	許容錯乱円直径 [mm]
	:	近点距離[mm]
	:	遠点距離[mm]
	:	前方被写界深度[mm]
	:	後方被写界深度[mm]
	:	フィルムの対角線長

図1 : 結像の様子

基本式

図1に示すレンズ写像の公式は次の形で表される。
　(1)
許容錯乱円直径と焦点深度は図1に示す関係があり、それは次の式で表される。
　(2)
フォーマットが異なっても、同じ大きさのプリントを同じ距離から見ることを前提にしている。はフィルム対角線長さの 1300分の1として計算されることが多いようである。 1000～1500という値は人間の目の分解能を基準に決められている。

被写界深度

式(1)を変形すると次のようになる。
　(3)
　(4)
式(3)から近点距離は次の式で表わすことができる。
　(5)
式(4)を式(5)へ代入すると近点距離と前方被写界深度の計算式が得られる。
　(6)
　(7)
同様の手順で遠点距離と後方被写界深度が得られる。
　(8)
　(9)
前方と後方の被写界深度の和が被写界深度となる。
　(10)

過焦点距離

被写体距離が無限遠の場合の近点距離を過焦点距離という。過焦点距離は定義から次の式で計算できる。
　(11)
過焦点距離を用いると近点・遠点距離や前方・後方被写界深度は次のような形になる。
　(12)
　(13)
　(14)
　(15)

実用的な近似式

被写体距離や焦点距離に対して焦点深度が無視できる場合

通常、被写体距離や焦点距離よりもフィルム上の焦点深度はかなり小さいので無視することができる。すなわち

が成り立つ条件のもとで以下のような近似式を使うことができる。
　(16)
　(17)
　(18)
　(19)
　(20)
式(20)で計算される過焦点距離を用いると更に簡単な表示が得られる。
　(21)
　(22)
　(23)
　(24)
この近似でどれくらいの誤差が生じるか考えてみる。例えば、135フィルムの場合は許容錯乱円が約0.03mmで、広角レンズでも焦点距離はその数十倍になる。誤差はたかだか数パーセントと考えてよいだろう。ただし、式(22)と(24) は過焦点距離と被写体距離が近い場合、精度が悪くなる。

被写体距離に対して焦点距離が無視できる場合

マクロ撮影などを除き、被写体距離は焦点距離よりも一般的に長い。このとき、

が成り立つ。この条件における被写界深度の式は次のような表示になる。
　(25)
　(26)
　(27)
　(28)

被写界深度目盛

被写界深度目盛の取り方

被写界深度目盛については http://www.dofmaster.com/ が詳しい(記号の意味が違うものがあります)。 dofmasterの説明に従って目盛を距離の逆数で考えて、近似式(21)と(22) を変形すれば、次の有用な結果が得られる。
　(29)
　(30)
つまり、距離の逆数で目盛を取れば、被写体距離をはさんで同じ幅に近点距離と遠点距離の目盛を打つことができる。そしてその量は過焦点距離の逆数であり、焦点距離と許容錯乱円直径とF値で決まる。

異なるフィルムサイズやレンズ焦点距離で被写界深度を同じにするには

例えば次のような時に被写界深度を同じにしたいことがある。

同じフィルムサイズで違う焦点距離のレンズを使う時
異なるフィルムサイズで同一画角の焦点距離となるレンズを使う時

これらの場合、絞りをどのように設定すれば同じ被写界深度が得られるだろうか？前節までの話で被写体距離の逆数で目盛を取るとき、過焦点距離の逆数は被写界深度の指標になることがわかった。したがって、この量が同じであれば被写界深度の同じ写真が撮れるはずである。そこで、フィルムサイズやレンズ焦点距離が異なる場合に被写界深度を同じにするためには絞りをどの程度変える必要があるか考えてみた。

(a) 撮影距離が同じ場合

前提として、撮影距離は同じ、そして式(2)で1300を使っても1500を使っても良いがフィルムサイズが変わっても同じ値を使うものとする。

フィルムサイズ、焦点距離のものと、それに対してフィルムサイズがm倍、焦点距離がn倍のものとを使うとき (記号に'を付ける)を考える。
　(31)
　(32)
同じ撮影距離であるとき、両者で被写界深度が同じであれば次の関係が成立する。
　(33)
式(33)の両辺を具体的に計算すると次のようになる。
　(34)
　(35)
したがって絞りについては以下の関係が得られる。
　(36)
式(36)だけ絞りを変えれば同じ被写界深度が得られる。これを絞りの段数で表示すると式(38)となる。
　(37)
　(38)

(b) 撮影距離を変える場合

次に撮影距離をどのように変えれば被写界深度を同じになるか考えてみる。二つの条件下で被写界深度はそれぞれ式(39), (40)のようになる。
　(39)
　(40)
式(39),(40)をまとめると次式になる。
　(41)
したがって、撮影距離を式(42)のように変えれば、被写界深度は同じにできる。
　(42)

例えば、対角線画角が同じレンズの場合(m=n)、撮影距離を元の mF'/F 倍すれば同じ被写界深度が得られる。

同程度の被写界深度を得るための絞りの計算例(撮影距離が同じ場合)

135フィルム(36x24mm),50mmレンズ → APS-C(23.4x16.7mmとします),30mmレンズの場合
　m= 23.4/36 = 0.65
　n= 30/50 = 0.6
を式(38)へ代入すると、
　i= 2*log(0.6^2/0.65)/log2 = -1.70
が得られる。APS-Cの30mmでは約1絞り半開けてやると、計算上は135の50mmとほぼ同じ被写界深度が得られることになる。

(注)デジタルカメラの場合、解像度は画像処理方法やフィルター(モアレ防止用など)によって変わる。また、許容錯乱円の取り方もフィルムとは異なる場合があるので、この計算は目安程度の意味である。

135フィルム(36x24mm),50mmレンズ → 6x6(56x56mm),80mmレンズの場合
　m= sqrt(56^2+56^2)/sqrt(36^2+24^2) = 1.83
　n= 80/50 = 1.6
を式(38)へ代入すると、
　i= 2*log(1.6^2/1.83)/log2 = 0.97
となる。したがって、6x6判80mmレンズで135の50mmレンズと同じ被写界深度を得ようとすれば1絞り絞る必要がある。

式(38)から下図のようなグラフをつくってみた。横軸はレンズ焦点距離の比 n 、縦軸に変えるべき絞りの段数 i を取り、135フィルムを基準にフィルムサイズを変えた場合を想定してプロットした。

図2 : 被写界深度を同じにするための絞り段数

表1 : 図2の計算に用いたフォーマットとサイズ

判	横[mm]	縦[mm]	対角[mm]	面積[mm^2]
4/3	18	13.5	22.5	243
APS-C	23.4	16.7	28.7	391
135	36	24	43.3	864
645	56	42	70	2352
66	56	56	79.2	3136
67	70	56	89.6	3920

対角線画角が同じレンズを使う場合、f'/f=mの点を読めば等価な絞りがわかる。例えば、4/3 フォーマットを使う時、135フィルムと同じ画角のレンズを使って同じ被写界深度を得るには、絞りは赤線の f'/f=m=0.52 の点を読み、約2絞り開ければよいということがわかる。

135フィルムと同じ対角線画角のレンズを使って被写界深度を同じにするには、4/3 フォーマットの場合は 2 絞り、APS-Cフォーマットの場合は 1 絞り開け、逆に中判645フォーマットの場合 1 絞り半、中判66フォーマットの場合 2 絞り近く絞れば良い。これは前述したように、デジタルカメラの場合、目安程度の数値である。

参考文献・資料

図解入門よくわかる最新レンズの基本と仕組み,桑島幹,秀和システム(2005)
http://www.dofmaster.com/

謝辞

使用者のみならず設計者の視点からもコメント下さった先輩N氏に感謝します。

被写界深度に関する計算式

目次

(a) 撮影距離が同じ場合

(b) 撮影距離を変える場合