- 子供の頃、「＋」（足す）の複数個の組み合わせとしての「×」（掛ける）を知ったとき、
或いは、その「×」（掛ける）の複数個の組み合わせとしての「＾」（べき乗）を知ったとき、
その新しい記号がもたらす数字の大きさに驚きもしたし、また、ひじょうに興奮した。そして、その時思ったのは、
この次は、どうなるのか？という期待である。
だが、それ以上の表記方法に、お目にかかることはなかった。
一応、この次の段階があり、「polypower」という呼ばれ方をするが、これが使われるのは数学のごく一部の分野に過ぎない。
ただ、このような演算を次々に定義していくことは可能である。今回、この「＋」⇒「×」⇒「＾」（べき）の先の演算について考えてみる。
- まず、「×」や「＾」（べき）がどのように導入されたかを考えてみる。
例えば、５＠３（＠は二項演算）の形で表すなら、「×」と「＾」は以下のように定義できる。
５×３＝５＋５＋５（５を３つ足す）よって、次の演算を仮にａという記号で表すなら、自然な拡張として、
５＾３＝５×５×５（５を３つ掛ける）
５ａ３＝５＾５＾５と定義できる。
ここで、「＾」という演算は非可換なので、どちらのべきを先に評価するかを決める必要があるが、
通常、「＾」は右結合的（つまり右から先）に解釈されるので、５ａ３＝５＾(５＾５)と定義する。この演算を「polypower」と呼ぶことがある。
- あとは、同じように続ければよい。 次の演算をｂ、ｃ、ｄ、……とし、
５ｂ３＝５ａ(５ａ５)と定義すればよい。
５ｃ３＝５ｂ(５ｂ５)
５ｄ３＝５ｃ(５ｃ５)
……
これらの表記によって表される数の具体的な１０進表記での値については、あまりにも大き過ぎて、 考える気がしない。ただ、途轍もなく大きいことだけはまちがいない。
- この結果を見て、子供の頃の自分は感動するだろうか？……
| 『枕草子＊砂の本』 |
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