７．まとめ

『数論における未解決問題集』に、これまで見つけられなかった g=101, 229 の場合の解が示されている。
x²＋gy²＝z²、x²−gy²＝w²に対する解の表現になっているが、
それを、k²g＝mn(m²−n²)の場合の表現に直すと以下のようになる。

Congruum g : 1 ≤ g ≤ 999

g	m	n
101	44715091781	3975302500
229	874407840421	7574220900

Allan MacLeod から以下のメールが届いた。

1. Tue, 09 Feb 1999 : solutions of g

   53, 118, 142, 157, 173, 181, 197, 237, 269, 277,
   278, 293, 303, 317, 326, 327, 334, 349, 365, 382,
   389, 397, 398, 407, 413, 415, 421, 453, 454, 485,
   493, 501, 519, 533, 541, 543, 557, 583, 638, 695,
   703, 717, 742, 767, 781, 789, 807, 815, 822, 831,
   886, 989

2. Fri, 02 Apr 1999 : solutions of g

   302, 358, 446, 461, 478, 502, 542, 566, 573, 597,
   613, 614, 623, 631, 661, 662, 685, 717, 766, 773,
   878, 893, 917, 926, 933, 941, 965, 974, 991

3. Mon, 26 Apr 1999 : solutions of g

   367, 373

4. Thu, 27 Jan 2000 : solutions of g

   367, 373, 503, 599, 607, 647, 653, 677, 701, 718,
   727, 733, 743, 757, 758, 797, 823, 829, 838, 853,
   862, 863, 877, 887, 911, 958, 967, 983, 997, 998

5. Mon, 31 Jan 2000 : solutions of g

   982

これまでの計算結果のうち最小表現のみを抜き出したものを、下にまとめる。

• 1 ≦ ｇ ≦ 999

楕円曲線の rank を計算するためのプログラムとして、Cremona による mwrank.exe が知られている。
このプログラムは、与えられた楕円曲線の rank を計算し、その生成元を求めることができる。
このプログラムを利用すると、

　　ｇが合同数
⇔　楕円曲線 y²=x(x²-g²) が、自明でない有理点を持つ
⇔　rankが１以上

ということがよくわかる。計算結果は以下のとおり。

1≦ｇ≦100