５．＜定義１＞に関する Godwin の方法

1978に発表された H. J. Godwin による方法を紹介する。
（出典：H. J. Godwin, "A Note on Congruent Numbers", Mathematics of Computation, 32 (January 1978) 293-295）

「1.3　ｍ、ｎ、ｍ＋ｎ、ｍ−ｎ のうち、３個が２乗数となる場合」で使った手法には、まだ先がある。

ｍ＝(2ij)²
ｎ＝(i²−j²)²

のとき、

T(m)＝T(n)＝T(m+n)＝１

となる。

ｍ−ｎ＝{2ij−(i²−j²)}{2ij＋(i²−j²)}

ここで、さらに、

ｉ＋ｊ＝r²＋2s²
　　ｊ＝2rs

とおくと、

2ij＋(i²−j²)＝(r²−2s²)²
∴ T(m-n)＝T(2ij−(i²−j²))＝T((r²−2s²)²−2(r²−2rs＋2s²)²)

この f(r,s)＝(r²−2s²)²−2(r²−2rs＋2s²)² について、 Godwinは s≦40,000 まで調べて、以下の解を得た。