２．＜定義２＞による探査

2.1　ｘ、ｙ についての単純ループ

(3) w²の係数が負の場合

補助方程式による解として、まず、

x²＋ｇy²＝z²
x²−ｇy²＝w²

において、w²の係数が−になる場合、すなわち、

ｇy²＋x²＝z²
ｇy²−x²＝w²

をもとに解を探してみる。

上の定義が＜定義１＞と同値であることを確かめてみる。
まず、 x, y, z, w がこのような関係式を満たすとき、

ｍ＝ｇy²
ｎ＝x²

とおくと、明らかに、T(ｍ)T(ｎ)T(ｍ＋ｎ)T(ｍ−ｎ)＝ｇ が成り立つ。
また、

X＝(z⁴＋w⁴)/2
Y＝2xyzw

とおくと、

X²＝(z⁸＋2z⁴w⁴＋w⁸)/4
Y²＝4x²y²z²w²

　x²＝(z²−w²)/2
　y²＝(z²＋w²)/2g

を代入すると、

　＝4{(z²−w²)/2}{(z²＋w²)/2g}z²w²
　＝z²w²(z⁴−w⁴)/g

であるから、

　X²＋gY²
＝(z⁸＋2z⁴w⁴＋w⁸)/4＋z²w²(z⁴−w⁴)
　X²−gY²
＝(z⁸＋2z⁴w⁴＋w⁸)/4−z²w²(z⁴−w⁴)

実は、これらは因数分解できて、以下のようになる。

　X²＋gY²
＝(z⁸＋2z⁴w⁴＋w⁸)/4＋z²w²(z⁴−w⁴)
＝(z⁴＋2z²w²−w⁴)²/4
　X²−gY²
＝(z⁸＋2z⁴w⁴＋w⁸)/4−z²w²(z⁴−w⁴)
＝(z⁴−2z²w²−w⁴)²/4

z, w は奇数となるので、

|z⁴＋2z²w²−w⁴|/2
|z⁴−2z²w²−w⁴|/2

は整数となる。これらを、Z、W とおくと、

X²＋ｇY²＝Z²
X²−ｇY²＝W²

が成り立つ。
この、

X＝(z⁴＋w⁴)/2
Y＝2xyzw

という置き換えは、w²の係数が正のときも成り立ち、
ちょうど、対応する楕円曲線上の点の２倍の公式に対応している。

原始的な解 x, y, z, w を探す方法を考えてみる。
w²の係数が正のときと同じ要領で考えていくと、まず、

ｘ＝偶数、ｙ＝奇数、ｚ＝奇数、ｗ＝奇数

であることがわかる。
また、両辺を足すと、

2gy²＝z²＋w²

かつ、y, z, w が奇数であることより、g 及び y は 4N+1 の形の奇数であることがわかる。
（２次体の整数論の結果を使う。）
また、mod 8 で考えた場合、g の値に応じて、x の値の場合分けができる。
以上を元にプログラムを組んでみる。