２．＜定義２＞による探査

2.1　ｘ、ｙ についての単純ループ

(1) 定義１との同値性

ここでは、２つ目の定義、

以下の連立２次不定方程式

x²＋ｇy²＝z²
x²−ｇy²＝w²

が、ｘ、ｙ、ｚ、ｗについての整数解を持つような自然数 g

をもとに解を探してみる。

上の定義が＜定義１＞と同値であることを確かめてみる。
まず、ｘ、ｙ、ｚ、ｗがこのような関係式を満たすとき、

ｍ＝x²
ｎ＝ｇy²

とおくと、ｍ＋ｎ＝z²、ｍ−ｎ＝w²となり、
T(ｍ)T(ｎ)T(ｍ＋ｎ)T(ｍ−ｎ)＝ｇとなり、定義１の解となっている。 また、k²g＝mn(m+n)(m-n) のとき、

ｘ＝m²＋n²
ｙ＝2k

とおくと、

　ｘ²＋ｇy²
＝(m²＋n²)²＋4k²g
＝(m²＋n²)²＋4mn(m²−n²)
＝(m²−n²)²＋4mn(m²−n²)＋(2mn)²
＝(m²−n²＋2mn)²
　ｘ²−ｇy²
＝(m²＋n²)²−4k²g
＝(m²＋n²)²−4mn(m²−n²)
＝(m²−n²)²−4mn(m²−n²)＋(2mn)²
＝(m²−n²−2mn)²

となるから、

ｚ＝｜m²−n²＋2mn｜
ｗ＝｜m²−n²−2mn｜

とおくと、ｘ、ｙ、ｚ、ｗは、

x²＋ｇy²＝z²
x²−ｇy²＝w²

を満たす。よって、これらの定義は同値である。

原始的な解ｘ、ｙ、ｚ、ｗを探す方法を考えてみる。
まず mod 2 で考えると「原始的」という条件から、ｘ、ｙは、

1. ｘ＝奇数、ｙ＝奇数
2. ｘ＝偶数、ｙ＝奇数
3. ｘ＝奇数、ｙ＝偶数

の３通りとなる。しかし mod 4 で考えるなら、まず１番目は成立しないことがわかる（証明略）。
よって、２番目か３番目ということになり、ｚ、ｗともに奇数となる。 もとの式の両辺を足すと、

2x²＝z²＋w²

ｚ、ｗが奇数であるから、ｘは奇数でなければならない（偶数にはならない。これも証明略）。
以上より、ｘ＝奇数、ｙ＝偶数、ｚ＝奇数、ｗ＝奇数、となることが解った。
さらに、ｘが２つの２乗の和で表されていることから、２次体の整数論での結果を使うと、
ｘは、４Ｎ＋１の形の奇数であることがわかる。
これをさらに mod 8 で考えるなら、ｇが奇数のときはｙは４の倍数でなければならないことがわかる。
以上をもとにプログラムを組んでみる。