前ページのプログラムで、連分数展開の各桁の数を求めることもできる。
100以下の自然数 n についての、
代表的なパターンとして、
sqrt(n2+1) = n [2n]
sqrt(n2+2) = n [n, 2n]
これは、直接計算により示すことができる。
この他、sqrt(n) の連分数展開について、以下のことが知られている。
2乗数でない n について、sqrt(n) の連分数展開は循環的になる。
a1, a2, ...... , ai, ...... , a2, a1, b
最後の値 b は整数部の2倍となる。
(-1) k
となる。
連分数展開の明確な形がわかっている数は、上記2次無理数以外では、
e (自然対数の底)、π等、ごく限られた数のみである。
例えば、2の立方根の連分数展開がどのようなパターンになっているのか、
まったくわかっていない。
Pell方程式のように漸化式を扱う場合、anの定義自体に anの値が入ってくるので、
一般のプログラミング言語では、再帰等、多少工夫が必要となり、わりとめんどくさい。
扱う数値がそれほど大きくないのであれば、Excel等の Spread Sheet の計算式を使った方が楽である。
Pell方程式用の Excel のシートをこちらに示す。
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