例えば、7 の循環節 142857 を真ん中で分けて、142 と 857 を足すと 999 になる。
7 に限らず、循環節の長さが偶数の場合、このような性質がある。
7 : 142 + 857 = 9 11 : 0 + 9 = 9 13 : 076 + 923 = 999 17 : 05882352 + 94117647 = 99999999 19 : 052631578 + 947368421 = 999999999 23 : 04347826086 + 95652173913 = 99999999999 29 : 03448275862068 + 96551724137931 = 99999999999999 47 : 02127659574468085106382 + 97872340425531914893617 = 99999999999999999999999 59 : 01694915254237288135593220338 + 98305084745762711864406779661 = 99999999999999999999999999999 61 : 016393442622950819672131147540 + 983606557377049180327868852459 = 999999999999999999999999999999 73 : 0136 + 9863 = 9999 89 : 0112359550561797752808 + 9887640449438202247191 = 9999999999999999999999 97 : 010309278350515463917525773195876288659793814432 + 989690721649484536082474226804123711340206185567 = 999999999999999999999999999999999999999999999999
長さが偶数の場合に限らず、循環節の長さが合成数のときは、約数の長さで区切り、 和をとることにより、9 が並ぶ場合がある。
7 : 14 + 28 + 57 = 99 13 : 07 + 69 + 23 = 99 19 : 052631 + 578947 + 368421 = 999999 31 : 03225 + 80645 + 16129 = 99999 , 032 + 258 + 064 + 516 + 129 = 999 37 : 0 + 2 + 7 = 9 43 : 0232558 + 1395348 + 8372093 = 9999999 61 : 01639344262295081967 + 21311475409836065573 + 77049180327868852459 = 99999999999999999999 67 : 01492537313 + 43283582089 + 55223880597 = 99999999999 97 : 01030927835051546391752577319587 + 62886597938144329896907216494845 + 36082474226804123711340206185567 = 99999999999999999999999999999999
循環節の長さが素数の場合は、分割できないので、このような性質を持たない。
例．p = 41 (長さ 5), 53 (長さ 13), 79 (長さ 13), 83 (長さ 41)
また、長さが合成数の場合でも、和が 99...99 にならないケースあり。
例．p = 71 (長さ 35) の場合、
5分割 : 0140845 + 0704225 + 3521126 + 7605633 + 8028169 = 19999998
7分割 : 01408 + 45070 + 42253 + 52112 + 67605 + 63380 + 28169 = 299997
7 の循環節 142857 に 2, 3, 4, 5, 6 を掛けたものは、循環節 142857 をcyclicに並べ替えたものとなる。
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142
7 (p自身) を掛けると 9 が並ぶ。
142857 * 7 = 999999
循環節の長さが p-1 のとき、このような性質を持つ。
100以下の素数では、p=7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97 の場合、循環節の長さが p-1 となる。
例．1/17の循環節 0588235294117647
588235294117647 * 2 = 1176470588235294
588235294117647 * 3 = 1764705882352941
588235294117647 * 4 = 2352941176470588
588235294117647 * 5 = 2941176470588235
588235294117647 * 6 = 3529411764705882
588235294117647 * 7 = 4117647058823529
588235294117647 * 8 = 4705882352941176
588235294117647 * 9 = 5294117647058823
588235294117647 * 10 = 5882352941176470
588235294117647 * 11 = 6470588235294117
588235294117647 * 12 = 7058823529411764
588235294117647 * 13 = 7647058823529411
588235294117647 * 14 = 8235294117647058
588235294117647 * 15 = 8823529411764705
588235294117647 * 16 = 9411764705882352
588235294117647 * 17 = 9999999999999999
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